Sur la représentation graphique d'une fonction $f$, l'image de $a$ par $f$ se lit en ordonnée du point d'abscisse $a$ situé sur la courbe. Un antécédent de $b$ par $f$ est une abscisse $x$ telle que $f(x)=b$ ; il peut y en avoir zéro, un ou plusieurs.
2. Résolution graphique d'équations
Résoudre graphiquement $f(x)=k$ revient à déterminer les abscisses des points d'intersection de la courbe de $f$ avec la droite horizontale $y=k$. Résoudre $f(x)=g(x)$ revient à déterminer les abscisses des points d'intersection des courbes de $f$ et de $g$.
3. Résolution graphique d'inéquations
Résoudre $f(x)\le k$ revient à déterminer les abscisses des points de la courbe situés en dessous (ou sur) la droite $y=k$. De même, $f(x)\ge g(x)$ correspond aux abscisses où la courbe de $f$ est au-dessus (ou confondue avec) celle de $g$.
4. Lecture d'un tableau de variations
Un tableau de variations résume, sans tracer la courbe, les intervalles sur lesquels une fonction est croissante ou décroissante, ainsi que ses extremums.
5. Application économique
Ces méthodes graphiques permettent, par exemple, de déterminer le point mort d'une entreprise (quantité pour laquelle coût et recette sont égaux) par lecture de l'intersection des courbes de coût et de recette.
Exercices Corrigés
On donne le tableau de valeurs d'une fonction $f$ : $f(-2)=5$, $f(0)=1$, $f(1)=-1$, $f(3)=7$. Donner l'image de 1 par $f$, puis un antécédent de 5 par $f$.
L'image de 1 par $f$ est $f(1)=-1$. Un antécédent de 5 par $f$ est $-2$ (car $f(-2)=5$).
Une fonction $f$ est représentée par une courbe qui coupe la droite $y=3$ aux points d'abscisses $x=-1$ et $x=4$. Donner les solutions de $f(x)=3$.
$S=\{-1;4\}$.
La courbe d'une fonction $f$ est en dessous de la droite $y=2$ sur $]-\infty;5[$ et au-dessus sur $]5;+\infty[$. Résoudre graphiquement $f(x)\ge2$.
$S=[5;+\infty[$.
Les courbes de deux fonctions $f$ (coût) et $g$ (recette) se coupent au point d'abscisse $x=150$. Pour $x<150$, $g$ est en dessous de $f$ ; pour $x>150$, elle est au-dessus. Interpréter ce point et déterminer à partir de quelle quantité l'entreprise est bénéficiaire.
Le point d'intersection ($x=150$) correspond au « point mort » : la recette égale le coût, le bénéfice est nul. Pour $x>150$, la recette dépasse le coût : l'entreprise est bénéficiaire dès que $x>150$.
Une fonction $f$ décroît de $f(0)=8$ à $f(4)=-2$, puis croît de $f(4)=-2$ à $f(10)=6$, sur $[0;10]$. Donner le minimum de $f$ et l'intervalle sur lequel $f$ est décroissante.
Le minimum de $f$ sur $[0;10]$ est $-2$, atteint en $x=4$. $f$ est décroissante sur $[0;4]$.
(suite) Combien l'équation $f(x)=0$ admet-elle de solutions sur $[0;10]$ ? Justifier sans calcul, à l'aide du tableau de variations.
Sur $[0;4]$, $f$ passe de 8 à $-2$ (décroissante et continue) : elle s'annule une fois. Sur $[4;10]$, $f$ passe de $-2$ à 6 (croissante et continue) : elle s'annule aussi une fois. L'équation $f(x)=0$ admet donc 2 solutions sur $[0;10]$.
Une droite passe par les points $(0;4)$ et $(2;10)$. Déterminer son coefficient directeur.
Coefficient directeur $=\dfrac{10-4}{2-0}=3$.
Sur un graphique, la courbe d'une fonction $f$ coupe l'axe des abscisses en $x=-3$ et $x=2$, et l'axe des ordonnées en $y=-6$. Donner les solutions de $f(x)=0$, puis la valeur de $f(0)$.
$f(x)=0$ pour $x=-3$ ou $x=2$, soit $S=\{-3;2\}$. $f(0)=-6$.
Une entreprise a une courbe de coût $C$ et une courbe de recette $R$, avec $R(x)>C(x)$ pour $x\in]80;300[$. Interpréter cette information.
Pour des quantités comprises entre 80 et 300 unités, la recette dépasse le coût : l'entreprise réalise un bénéfice sur cet intervalle. En dehors (x<80 ou x>300), elle est en perte.
Une parabole a pour sommet le point $(3;-4)$ et est tournée vers le haut. Donner le minimum de $f$ et préciser sur quel intervalle $f$ est croissante.
Le minimum de $f$ est $-4$, atteint en $x=3$. La parabole étant tournée vers le haut, $f$ est croissante sur $[3;+\infty[$.
