Une fonction affine s'écrit $f(x)=ax+b$. Sa représentation graphique est une droite de coefficient directeur $a$ et d'ordonnée à l'origine $b$. Elle est croissante si $a>0$, décroissante si $a<0$, constante si $a=0$.
2. Fonction du second degré (trinôme)
Une fonction du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$). Sa représentation graphique est une parabole, tournée vers le haut si $a>0$ (minimum), vers le bas si $a<0$ (maximum). Le sommet a pour abscisse $x_S = -\dfrac{b}{2a}$.
3. Signe d'un trinôme
Le signe de $f(x)=ax^2+bx+c$ dépend du discriminant $\Delta=b^2-4ac$ :
si $\Delta>0$ : deux racines $x_1,x_2$, $f(x)$ du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines ;
si $\Delta=0$ : une racine double, $f(x)$ du signe de $a$ partout ailleurs ;
si $\Delta<0$ : pas de racine réelle, $f(x)$ toujours du signe de $a$.
Les racines, quand $\Delta\ge0$, sont données par $x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
4. Fonction homographique simple
Une fonction du type $f(x)=\dfrac{a}{x}$ est appelée fonction homographique. Elle n'est pas définie en $x=0$. Elle est strictement monotone sur $]-\infty;0[$ et sur $]0;+\infty[$.
5. Application économique
Ces fonctions modélisent des grandeurs économiques : coût de production (affine ou second degré), bénéfice (parabole avec un maximum), coût moyen unitaire (souvent une fonction homographique décroissante).
Exercices Corrigés
Soit $f(x)=3x-5$. Calculer $f(0)$, $f(2)$ et déterminer le sens de variation de $f$.
$f(0)=-5$, $f(2)=1$. Comme $a=3>0$, $f$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.
Une entreprise a un coût de production $C(x)=15x+2000$ (en €), $x$ étant le nombre d'objets produits. Calculer $C(100)$, puis déterminer à partir de combien d'objets le coût dépasse 5000€.
$C(100)=1500+2000=3500$€. $C(x)>5000 \iff 15x>3000 \iff x>200$. À partir de 201 objets, le coût dépasse 5000€.
Soit $f(x)=2x^2-8x+3$. Déterminer les coordonnées du sommet de la parabole représentant $f$, et préciser si c'est un minimum ou un maximum.
$x_S=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{8}{4}=2$. $f(2)=8-16+3=-5$. Sommet $(2;-5)$. Comme $a=2>0$, c'est un minimum.
Étudier le signe de $f(x)=-x^2+4x-3$ sur $\mathbb{R}$.
$\Delta=16-12=4>0$. Racines : $x_1=1$, $x_2=3$. Comme $a=-1<0$ : $f(x)<0$ sur $]-\infty;1[\cup]3;+\infty[$, $f(x)>0$ sur $]1;3[$, $f(1)=f(3)=0$.
Le bénéfice d'une entreprise (en milliers d'euros) est $B(x)=-2x^2+40x-150$, $x$ en centaines d'unités produites. Déterminer la quantité $x$ qui maximise le bénéfice, et calculer ce bénéfice maximal.
$x_S=\dfrac{-40}{2\times(-2)}=10$. $B(10)=-200+400-150=50$. Le bénéfice est maximal pour $x=10$ (1000 unités), et vaut 50 milliers d'euros.
(suite) Déterminer pour quelles quantités produites le bénéfice est positif.
$-2x^2+40x-150=0 \iff x^2-20x+75=0$. $\Delta=400-300=100$. $x_1=5$, $x_2=15$. Comme $a=-2<0$, $B(x)>0$ pour $x\in]5;15[$, soit entre 500 et 1500 unités produites.
Un coût moyen unitaire est $CM(x)=\dfrac{5000}{x}+20$ pour $x>0$. Calculer $CM(100)$ et $CM(500)$, et interpréter.
$CM(100)=50+20=70$€. $CM(500)=10+20=30$€. Le coût moyen unitaire diminue quand la quantité produite augmente (les coûts fixes se répartissent sur davantage d'objets).
Soit $f(x)=\dfrac{6}{x}$. Préciser le domaine de définition et le sens de variation sur $]0;+\infty[$.
Domaine : $x\neq0$. Sur $]0;+\infty[$, $f$ est strictement décroissante.
Une fonction affine $f$ vérifie $f(0)=10$ et $f(5)=25$. Déterminer l'expression de $f(x)$.
