Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives de coefficient multiplicateur global $Q$ sur $n$ périodes, le taux moyen $t_m$ (taux unique qui, appliqué $n$ fois, donnerait le même résultat) vérifie :
Deux évolutions successives sont équivalentes à une évolution globale si elles produisent le même coefficient multiplicateur global. Pour comparer plusieurs scénarios, on compare leurs coefficients multiplicateurs globaux (ou, sur des durées différentes, leurs taux moyens).
3. Calcul du taux réciproque
Si une grandeur subit une évolution de coefficient multiplicateur $q$, le coefficient multiplicateur qui permet de revenir à la valeur de départ (taux réciproque) est $\dfrac1q$.
4. Application économique
Ces outils permettent de comparer des placements financiers, des évolutions de prix ou de chiffres d'affaires sur des durées différentes, en ramenant chaque évolution à un taux annuel moyen comparable.
Exercices Corrigés
Un capital a été multiplié par 1,5 en 4 ans. Calculer le taux moyen annuel d'évolution, arrondi au dixième de %.
Une population a augmenté de 10% par an pendant 3 ans. Calculer le coefficient multiplicateur global, puis vérifier que le taux moyen retrouvé est bien 10%.
$Q=1{,}1^3=1{,}331$. $t_m=1{,}331^{1/3}-1=1{,}1-1=10\%$ (cohérent, le taux étant déjà constant chaque année).
Un article a vu son prix multiplié par 0,85 sur 2 ans. Calculer le taux moyen annuel d'évolution.
Une entreprise A voit son CA multiplié par 1,3 en 3 ans ; une entreprise B voit son CA multiplié par 1,5 en 5 ans. Calculer le taux moyen annuel de chacune et déterminer laquelle a la meilleure croissance annuelle moyenne.
A : $1{,}3^{1/3}-1\approx9{,}1\%$. B : $1{,}5^{1/5}-1\approx8{,}4\%$. L'entreprise A a une croissance annuelle moyenne légèrement supérieure.
Un capital a subi une hausse de 25% une année. Quel coefficient multiplicateur faudrait-il appliquer l'année suivante pour revenir exactement au capital de départ ?
Coefficient réciproque $=1/1{,}25=0{,}8$, soit une baisse de 20%.
(suite) Une baisse de 25% ramènerait-elle exactement à la valeur initiale ? Commenter.
Non : une baisse de 25% correspond à un coefficient 0,75, et $0{,}75\times1{,}25=0{,}9375\neq1$. Il faut une baisse de 20% (coefficient 0,8) pour compenser exactement une hausse de 25%, car la baisse s'applique à une valeur plus élevée que la valeur initiale.
Le placement 1 rapporte un taux fixe de 4% par an ; le placement 2 a été multiplié par 1,17 sur 4 ans. Lequel est le plus avantageux annuellement ?
Placement 2 : $t_m=1{,}17^{1/4}-1\approx4{,}00\%$. Les deux placements ont un taux annuel moyen quasiment identique : ils sont comparables.
Un loyer a été multiplié par 1,08 en 2 ans. Exprimer le taux moyen annuel exact sous forme d'une racine, puis donner sa valeur approchée en pourcentage.
