Calculer $t\%$ d'une quantité $Q$ revient à calculer $\dfrac{t}{100}\times Q$. Le coefficient multiplicateur associé à une évolution de $t\%$ est $q=1+\dfrac{t}{100}$ (une baisse correspond à $t<0$).
2. Taux d'évolution
Le taux d'évolution entre une valeur initiale $V_i$ et une valeur finale $V_f$ est :
$$t = \dfrac{V_f-V_i}{V_i}$$
On a alors $V_f = V_i\times(1+t) = V_i\times q$.
3. Indice simple
L'indice en base 100 à la date $t$, par rapport à une date de référence $t_0$, est :
$$I_t = \dfrac{V_t}{V_{t_0}}\times100$$
Il permet de comparer facilement des évolutions, sans connaître les valeurs exactes.
4. Évolutions successives
Pour des évolutions successives de coefficients multiplicateurs $q_1,q_2,\ldots,q_n$, le coefficient multiplicateur global est $Q=q_1\times q_2\times\cdots\times q_n$, et le taux d'évolution global est $(Q-1)\times100$ (en %).
Attention : des évolutions successives ne s'additionnent pas directement (une hausse de 10% suivie d'une baisse de 10% ne ramène pas à la valeur de départ).
Exercices Corrigés
Un article coûtait 80€ et coûte maintenant 92€. Calculer le taux d'évolution de son prix.
Un salaire de 1800€ augmente de 3%. Calculer le nouveau salaire.
$q=1{,}03$. $1800\times1{,}03 = 1854$€.
Une entreprise avait un CA de 500 000€ en 2020 et de 560 000€ en 2023. Calculer l'indice du CA en 2023 par rapport à 2020 (base 100 en 2020).
$I = \dfrac{560\,000}{500\,000}\times100 = 112$.
(suite) Interpréter cet indice.
L'indice 112 signifie que le chiffre d'affaires de 2023 représente 112% de celui de 2020, soit une hausse de 12% entre 2020 et 2023.
Le prix d'un carburant augmente de 8% puis diminue de 8% le mois suivant. Le prix final est-il égal au prix initial ? Justifier par le calcul.
$Q=1{,}08\times0{,}92=0{,}9936$. Le prix final vaut 99,36% du prix initial : il n'est pas revenu à sa valeur de départ, il a légèrement baissé (la baisse s'applique à une valeur plus élevée que celle de départ, donc les évolutions ne se compensent pas exactement).
Un produit augmente de 20% puis de 20% à nouveau l'année suivante. Calculer le coefficient multiplicateur global et le taux d'évolution global sur les deux ans.
$Q=1{,}2\times1{,}2=1{,}44$. Taux global $=(1{,}44-1)\times100=44\%$ (et non 40%).
Une population passe de 8000 à 7200 habitants. Calculer le taux d'évolution (avec son signe).
$t = \dfrac{7200-8000}{8000} = -0{,}10 = -10\%$.
Un article a subi une baisse de 25%. Quel est son coefficient multiplicateur ? Si son nouveau prix est 45€, quel était son prix initial ?
$q=1-0{,}25=0{,}75$. Prix initial $\times0{,}75=45 \Rightarrow$ prix initial $=45/0{,}75=60$€.
Le nombre de visiteurs d'un site était de 12 000 en janvier (indice base 100). En février, l'indice est 108 ; en mars, l'indice est 115. Calculer le nombre de visiteurs en février et en mars.
Février : $12\,000\times\dfrac{108}{100}=12\,960$ visiteurs. Mars : $12\,000\times\dfrac{115}{100}=13\,800$ visiteurs.
Une entreprise a connu les évolutions successives suivantes de son CA : +5% la première année, -3% la deuxième, +7% la troisième. Calculer le taux d'évolution global sur les trois ans, arrondi au dixième.
$Q=1{,}05\times0{,}97\times1{,}07\approx1{,}0898$. Taux global $\approx8{,}98\%\approx9{,}0\%$.
