Suites arithmétiques et géométriques

1. Suites : généralités

Une suite numérique $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers naturels $n$. Elle peut être définie par une formule explicite (donnant $u_n$ en fonction de $n$) ou par une relation de récurrence (donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$, avec un premier terme donné).

2. Suites arithmétiques

Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$. Terme général : $u_n=u_0+nr$. Somme de $n$ termes consécutifs (du premier au dernier) : $$S = \dfrac{(\text{premier terme}+\text{dernier terme})\times n}{2}$$

3. Suites géométriques

Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ ($q\neq0$) si $u_{n+1}=q\times u_n$ pour tout $n$. Terme général : $u_n=u_0\times q^n$. Somme de $n$ termes consécutifs à partir de $u_0$, pour $q\neq1$ : $$S = u_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}$$

4. Représentation graphique

On représente une suite par un nuage de points $(n\,;\,u_n)$. Une suite arithmétique donne des points alignés ; une suite géométrique donne des points dont l'allure devient rapidement très pentue (croissance ou décroissance rapide).

5. Choisir le bon modèle

Pour modéliser une évolution, on choisit une suite arithmétique si la variation est une quantité constante à chaque étape, une suite géométrique si la variation est un pourcentage constant.