Pour une série $x_1,\ldots,x_n$, la moyenne est $\bar x=\dfrac1n\sum x_i$. La médiane partage la série triée en deux effectifs égaux ; les quartiles $Q_1,Q_3$ la partagent en quatre parties égales. L'écart-type $\sigma$ mesure la dispersion autour de la moyenne.
2. Vocabulaire des probabilités
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles formant l'univers $\Omega$. La probabilité d'un événement $A$ vérifie $0\le P(A)\le1$, et $P(\Omega)=1$. Si les issues sont équiprobables : $P(A)=\dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}$.
3. Événements et arbres pondérés
L'événement contraire de $A$, noté $\overline A$, vérifie $P(\overline A)=1-P(A)$. Un arbre pondéré permet de représenter une expérience à plusieurs étapes ; la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches.
4. Variable aléatoire
Une variable aléatoire $X$ associe une valeur numérique à chaque issue. Son espérance $E(X)=\sum p_ix_i$ représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions.
5. Application technique
Ces outils sont utilisés en contrôle qualité (analyse statistique d'une production, calcul de probabilités de défaut) et dans l'analyse de fiabilité des systèmes techniques.
Exercices Corrigés
Une série de mesures (en mm) donne : 10,2 ; 10,5 ; 9,8 ; 10,1 ; 10,4. Calculer la moyenne.
$\bar x = \dfrac{10{,}2+10{,}5+9{,}8+10{,}1+10{,}4}{5} = \dfrac{51}{5} = 10{,}2$ mm.
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité de tirer un roi.
4 rois sur 32 cartes. $P=\dfrac4{32}=\dfrac18=0{,}125$.
Un contrôle qualité montre que 4% des pièces produites sont défectueuses. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit conforme.
$P(\text{conforme})=1-0{,}04=0{,}96$.
La machine A produit 60% des pièces avec 3% de défauts ; la machine B produit 40% avec 6% de défauts. Calculer la probabilité qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
On lance un dé équilibré à 6 faces deux fois de suite. Calculer la probabilité d'obtenir deux fois un nombre supérieur ou égal à 5.
$P(\ge5\text{ en un lancer})=\dfrac13$. Pour deux lancers indépendants : $P=\dfrac13\times\dfrac13=\dfrac19$.
Une variable aléatoire $X$ prend la valeur 1 avec une probabilité 0,04 (pièce défectueuse, coût de reprise 50€) et 0 sinon. Calculer $E(X)$ puis le coût moyen de reprise attendu par pièce.
$E(X)=1\times0{,}04+0\times0{,}96=0{,}04$. Coût moyen attendu par pièce $=0{,}04\times50=2$€.
Une série statistique a un écart-type de 0,02 mm pour une cote usinée à 15 mm en moyenne. Une seconde série (même moyenne) a un écart-type de 0,08 mm. Laquelle traduit un usinage plus précis ?
Un écart-type plus faible traduit une plus faible dispersion, donc un usinage plus précis : la première série (0,02 mm) correspond à un usinage plus précis que la seconde (0,08 mm).
Sur 200 pièces contrôlées, 180 sont conformes. Estimer la probabilité qu'une pièce soit conforme, puis en déduire une estimation du nombre de pièces défectueuses sur une production de 5000 pièces.
$P(\text{conforme})\approx\dfrac{180}{200}=0{,}9$. $P(\text{défectueuse})\approx0{,}1$. Sur 5000 pièces, nombre estimé de pièces défectueuses $\approx5000\times0{,}1=500$.
