Un vecteur $\vec u$ est caractérisé par une direction, un sens et une norme (longueur), notée $\|\vec u\|$. Dans un repère, si $\vec u$ a pour coordonnées $(x;y)$, alors $\|\vec u\| = \sqrt{x^2+y^2}$.
2. Produit scalaire
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec u(x;y)$ et $\vec v(x';y')$ est : $$\vec u\cdot\vec v = xx'+yy'$$ On a aussi $\vec u\cdot\vec v = \|\vec u\|\times\|\vec v\|\times\cos\theta$, où $\theta$ est l'angle entre les deux vecteurs.
Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.
3. Relations trigonométriques
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\theta$ : $\cos\theta=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$, $\sin\theta=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$. On a toujours $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$.
4. Application technique
Le produit scalaire et la trigonométrie interviennent dans de nombreux calculs techniques : projection d'une force sur un axe, calcul de la puissance d'une force ($P=\vec F\cdot\vec v$), résolution de triangles pour le dimensionnement de structures ou de pièces mécaniques.
Exercices Corrigés
Soit $\vec u(3;4)$. Calculer sa norme $\|\vec u\|$.
$\|\vec u\|=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$.
Soit $\vec u(2;5)$ et $\vec v(-1;3)$. Calculer le produit scalaire $\vec u\cdot\vec v$.
Dans un triangle rectangle, le côté adjacent à un angle $\theta=30°$ mesure 10 cm. Calculer l'hypoténuse, sachant $\cos(30°)\approx0{,}866$.
Hypoténuse $=\dfrac{\text{adjacent}}{\cos\theta}=\dfrac{10}{0{,}866}\approx11{,}55$ cm.
Une force $\vec F$ de norme 50 N fait un angle de 60° avec un déplacement de norme 4 m. Calculer le travail $W=\|\vec F\|\times\|\vec d\|\times\cos\theta$, sachant $\cos60°=0{,}5$.
$W=50\times4\times0{,}5=100$ J.
Soit $\vec u(6;-2)$ et $\vec v(1;3)$. Calculer $\vec u\cdot\vec v$, et en déduire si l'angle entre les vecteurs est aigu, obtus ou droit.
$\vec u\cdot\vec v=6-6=0$. L'angle entre les deux vecteurs est donc droit (vecteurs orthogonaux).
Une échelle de 5 m est posée contre un mur, en faisant un angle de 70° avec le sol. Calculer la hauteur atteinte, sachant $\sin(70°)\approx0{,}940$.
Hauteur $=$ hypoténuse $\times\sin\theta=5\times0{,}940=4{,}70$ m.
Soit $\vec u(2;3)$ et $\vec v(4;6)$. Calculer $\vec u\cdot\vec v$, puis comparer les directions de $\vec u$ et $\vec v$.
$\vec u\cdot\vec v=8+18=26$. On remarque que $\vec v=2\vec u$ : les deux vecteurs sont colinéaires (même direction).
Une force de 80 N est appliquée avec un angle de 45° par rapport à l'horizontale, avec $\cos(45°)=\sin(45°)\approx0{,}707$. Calculer ses composantes horizontale et verticale.
Composante horizontale $=80\times0{,}707\approx56{,}6$ N. Composante verticale $\approx56{,}6$ N.
