Nombres complexes (introduction)

Cours

1. Définition et forme algébrique

Un nombre complexe s'écrit $z=a+ib$, avec $a,b\in\mathbb R$ et $i^2=-1$. $a$ est la partie réelle, $b$ la partie imaginaire.

2. Opérations

$(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d)$.
$(a+ib)-(c+id)=(a-c)+i(b-d)$.
$(a+ib)(c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

3. Conjugué

Le conjugué de $z=a+ib$ est $\bar z=a-ib$. On a $z\times\bar z=a^2+b^2$ (réel positif ou nul), ce qui permet de calculer le quotient de deux complexes en multipliant par le conjugué du dénominateur.

4. Représentation géométrique

Dans un repère orthonormé (plan complexe), le nombre $z=a+ib$ est représenté par le point $M(a;b)$, appelé image de $z$. La distance $OM=\sqrt{a^2+b^2}$ est le module de $z$, noté $|z|$.

5. Application

Les nombres complexes serviront, en terminale, à représenter les grandeurs sinusoïdales en électricité (impédances). Dès la première, ils permettent de résoudre certaines équations du second degré qui n'ont pas de solution réelle.

Exercices Corrigés

On donne $z_1=2+3i$ et $z_2=5-i$. Calculer $z_1+z_2$ et $z_1-z_2$.

Calculer $z_1\times z_2$ avec $z_1=1+2i$ et $z_2=3-i$.

Calculer le conjugué de $z=4-7i$, puis calculer $z\times\bar z$.

Donner les coordonnées du point image de $z=-3+2i$ dans le plan complexe.

Calculer le module de $z=6+8i$.

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $x^2+9=0$.

Résoudre dans $\mathbb C$ l'équation $x^2-2x+5=0$.

Calculer $\dfrac{1}{2+i}$ en utilisant le conjugué du dénominateur.

Calculer $i^2$, $i^3$ et $i^4$.

Soit $z=3-4i$. Calculer $z+\bar z$ et $z-\bar z$, et commenter la nature (réelle ou imaginaire pure) de chacun des résultats.

QCM notés

QCM — Nombres complexes (introduction) 10 questions · ⏱ 15 min