Fonction exponentielle (introduction)
Cours
1. Définition
La fonction exponentielle, notée $x\mapsto e^x$, est l'unique fonction dérivable sur $\mathbb R$ égale à sa propre dérivée et telle que $e^0=1$. Elle est strictement positive et strictement croissante sur $\mathbb R$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels $a,b$ : $e^{a+b}=e^a\times e^b$ ; $e^{-a}=\dfrac1{e^a}$ ; $(e^a)^n=e^{na}$.
3. Dérivée
$(e^x)'=e^x$. Pour $f(x)=e^{kx}$ ($k$ constant), $f'(x)=ke^{kx}$.
4. Équations simples
Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$ : $e^a=e^b\iff a=b$.
5. Premiers modèles
La fonction exponentielle permet de modéliser des phénomènes de croissance ou décroissance continue : charge d'un condensateur, refroidissement d'un objet, croissance d'une population, dans un premier temps de façon qualitative (l'étude complète des équations différentielles associées sera vue en terminale).