Dérivation
Cours
1. Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé de $f$ en $a$, noté $f'(a)$, est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $a$. Il mesure la vitesse de variation instantanée de $f$ en $a$.
2. Fonction dérivée
Dérivées usuelles : $f(x)=k$ → $f'(x)=0$.
$f(x)=x^n$ → $f'(x)=nx^{n-1}$.
$f(x)=\sqrt x$ → $f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt x}$ (sur $]0;+\infty[$).
$f(x)=\dfrac1x$ → $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
Opérations : $(u+v)'=u'+v'$ ; $(ku)'=ku'$ ; $(uv)'=u'v+uv'$ ; $\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
3. Signe de la dérivée et variations
Si $f'(x)>0$ sur un intervalle, $f$ est strictement croissante sur cet intervalle. Si $f'(x)<0$, $f$ est strictement décroissante. Si $f'$ s'annule en changeant de signe en un point, $f$ admet un extremum local en ce point.
4. Application technique
La dérivée s'interprète comme une vitesse de variation : vitesse instantanée (dérivée de la position par rapport au temps), puissance instantanée, taux de variation d'une grandeur physique. Elle permet aussi de déterminer les extrema d'une fonction (optimisation d'une dimension, d'un coût, d'une puissance).