Une fonction du second degré s'écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ ($a\neq0$). Sa courbe est une parabole, tournée vers le haut si $a>0$ (minimum), vers le bas si $a<0$ (maximum). Sommet d'abscisse $x_S=-\dfrac{b}{2a}$.
2. Discriminant et racines
Le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$. Si $\Delta>0$, deux racines $x=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$ ; si $\Delta=0$, une racine double $x=-\dfrac{b}{2a}$ ; si $\Delta<0$, aucune racine réelle.
3. Fonction racine carrée
La fonction $x\mapsto\sqrt x$ est définie sur $[0;+\infty[$, strictement croissante. Sa courbe part de l'origine et croît de moins en moins vite.
4. Fonction inverse
La fonction $x\mapsto\dfrac1x$ est définie sur $\mathbb{R}^*$, strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ et sur $]-\infty;0[$ séparément (mais pas globalement décroissante sur $\mathbb R^*$).
5. Application physique
La fonction du second degré modélise par exemple la trajectoire d'un projectile (hauteur en fonction de la distance horizontale) ou l'énergie cinétique en fonction de la vitesse. La fonction inverse intervient dans les lois physiques du type $y=k/x$ (loi d'Ohm à tension constante : $I=U/R$, optique...).
Étudier le signe de $f(x)=x^2-4$ sur $\mathbb{R}$.
Racines $\pm2$. Comme $a=1>0$ : $f(x)<0$ sur $]-2;2[$, $f(x)>0$ ailleurs, $f(\pm2)=0$.
La trajectoire d'un projectile est modélisée par $h(x)=-0{,}05x^2+2x$ ($h,x$ en mètres). Déterminer la portée du tir (valeur de $x$, autre que 0, pour laquelle $h(x)=0$).
$-0{,}05x^2+2x=0 \iff x(-0{,}05x+2)=0 \iff x=0$ ou $x=40$. Portée $=40$ m.
(suite) Déterminer la hauteur maximale atteinte et la distance à laquelle elle est atteinte.
$x_S=\dfrac{-2}{2\times(-0{,}05)}=20$. $h(20)=-20+40=20$ m. Hauteur maximale 20 m, atteinte à 20 m de distance.
Calculer $\sqrt{49}$, $\sqrt2$ (arrondi au centième) et comparer $\sqrt9$ et $\sqrt{16}$.
$\sqrt{49}=7$. $\sqrt2\approx1{,}41$. $\sqrt9=3<\sqrt{16}=4$, cohérent avec la croissance de la fonction racine carrée.
On étudie la relation simplifiée $I(d)=\dfrac{100}{d}$ (I en lux, d en mètres) pour l'intensité lumineuse reçue par un capteur. Calculer $I(2)$ et $I(10)$, et donner le sens de variation de $I$ sur $]0;+\infty[$.
$I(2)=50$ lux, $I(10)=10$ lux. $I$ est strictement décroissante sur $]0;+\infty[$ : plus on s'éloigne, moins l'intensité reçue est grande.
Un courant est donné par $I(R)=\dfrac{12}{R}$ (loi d'Ohm, $U=12$ V constant). Calculer $I(4)$ et $I(6)$, et interpréter.
$I(4)=3$ A, $I(6)=2$ A. Plus la résistance $R$ augmente, plus l'intensité $I$ diminue.
Étudier le signe de $f(x)=-2x^2+8x-8$ sur $\mathbb{R}$.
$\Delta=64-64=0$. Racine double $x=2$. Comme $a=-2<0$, $f(x)\le0$ pour tout $x$ (nul seulement en $x=2$).
Un signal a une puissance $P(t)=-t^2+6t$ pour $t\in[0;6]$ ($t$ en secondes). Déterminer l'instant où la puissance est maximale, et calculer cette puissance maximale.
$x_S=\dfrac{-6}{2\times(-1)}=3$. $P(3)=-9+18=9$ W. Puissance maximale à $t=3$ s, valant 9 W.
