Une suite numérique $(u_n)$ est une liste ordonnée de nombres, indexée par les entiers naturels $n$. Elle peut être définie par une formule explicite (donnant $u_n$ en fonction de $n$) ou par une relation de récurrence (donnant $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$).
2. Suites arithmétiques
$(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si $u_{n+1}=u_n+r$. Terme général : $u_n=u_0+nr$. Somme de $n$ termes consécutifs : $$S=\dfrac{(\text{premier}+\text{dernier})\times n}{2}$$
3. Suites géométriques
$(u_n)$ est géométrique de raison $q$ ($q\neq0$) si $u_{n+1}=q\times u_n$. Terme général : $u_n=u_0\times q^n$. Somme de $n$ termes consécutifs à partir de $u_0$, pour $q\neq1$ : $$S=u_0\times\dfrac{1-q^n}{1-q}$$
4. Sens de variation
Une suite arithmétique de raison $r$ est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$. Une suite géométrique de premier terme positif est croissante si $q>1$, décroissante si $0
5. Application technique
Les suites arithmétiques modélisent des grandeurs qui varient d'une quantité constante à chaque étape (usinage par passes de profondeur fixe, mesures espacées régulièrement). Les suites géométriques modélisent des évolutions par facteur multiplicatif constant (atténuation d'un signal, division de fréquence, décroissance en pourcentage).
Exercices Corrigés
Soit $(u_n)$ arithmétique, $u_0=5$, $r=2$. Calculer $u_1$, $u_2$, $u_3$ et $u_{10}$.
$u_1=7$, $u_2=9$, $u_3=11$. $u_{10}=5+20=25$.
Un signal subit une atténuation telle que chaque étage divise son amplitude par 2, avec $v_0=8$ V. Modéliser par une suite, préciser son type et sa raison, calculer $v_4$.
Suite géométrique de raison $q=0{,}5$. $v_4=8\times0{,}5^4=\dfrac{8}{16}=0{,}5$ V.
Un capteur enregistre une mesure toutes les secondes ; la valeur augmente de 1,5 mV à chaque mesure, en partant de $u_0=2$ mV. Calculer $u_8$.
Suite arithmétique, $u_0=2$, $r=1{,}5$. $u_8=2+12=14$ mV.
Un diviseur de fréquence divise la fréquence par 2 à chaque étage, à partir de $f_0=1200$ Hz. Préciser le type de suite, sa raison, et calculer $f_5$.
Suite géométrique de raison $q=0{,}5$. $f_5=1200\times0{,}5^5=\dfrac{1200}{32}=37{,}5$ Hz.
La distance parcourue par un mobile, mesurée toutes les secondes, augmente de 4 m à chaque seconde, à partir de $d_0=10$ m. Calculer la distance totale parcourue sur les 6 premières secondes ($d_0$ à $d_5$).
Suite arithmétique, $d_0=10$, $r=4$, 6 termes. $d_5=10+20=30$. $S=\dfrac{(10+30)\times6}{2}=120$ m.
Calculer la somme des 6 premiers termes d'une suite géométrique de premier terme 3 et de raison 2.
Une pièce métallique de 20 mm d'épaisseur est usinée par passes successives ; chaque passe retire 5% de l'épaisseur restante. Modéliser l'épaisseur restante par une suite, préciser sa raison, et calculer l'épaisseur après 6 passes, arrondie au centième.
Suite géométrique de raison $q=0{,}95$, $u_0=20$. $u_6=20\times0{,}95^6\approx20\times0{,}7351\approx14{,}70$ mm.
(suite) À l'aide d'un tableau de valeurs, déterminer après combien de passes l'épaisseur devient inférieure à 10 mm.
$u_{13}\approx20\times0{,}95^{13}\approx10{,}27$ mm ; $u_{14}\approx20\times0{,}95^{14}\approx9{,}75$ mm. L'épaisseur passe donc sous 10 mm à la 14e passe.
Une suite $(u_n)$ vérifie $u_0=50$ et $u_{n+1}=u_n-3$. Déterminer son sens de variation, et calculer à partir de quel rang $u_n$ devient négatif.
Suite arithmétique de raison $r=-3<0$ : décroissante. $u_n=50-3n<0 \iff n>\dfrac{50}{3}\approx16{,}67$, donc à partir de $n=17$, $u_n$ devient négatif ($u_{17}=-1$).
Le procédé A augmente sa capacité de 20 pièces/jour chaque mois (capacité initiale 100, suite arithmétique) ; le procédé B multiplie sa capacité par 1,15 chaque mois (capacité initiale 100, suite géométrique). Comparer les capacités après 6 mois.
Procédé A : $u_6=100+6\times20=220$ pièces/jour. Procédé B : $v_6=100\times1{,}15^6\approx231$ pièces/jour. Le procédé B dépasse légèrement le procédé A après 6 mois, et cet écart continuera de se creuser car la croissance géométrique s'accélère.
