Équations polynomiales dans C
Cours
1. Racines n-ièmes de l'unité
Les solutions de l'équation $z^n = 1$ (avec $n \in \mathbb{N}^*$) sont appelées racines n-ièmes de l'unité. Elles sont au nombre de $n$ :
$$z_k = e^{i \frac{2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$
Ces points sont répartis régulièrement sur le cercle trigonométrique et forment les sommets d'un polygone régulier à $n$ côtés. Pour $n \geq 2$, leur somme est égale à $0$.
2. Racines n-ièmes d'un nombre complexe quelconque
Pour résoudre $z^n = a$ avec $a = re^{i\theta}$ non nul, les $n$ solutions sont :
$$z_k = r^{1/n} \, e^{i \frac{\theta + 2k\pi}{n}}, \quad k = 0, 1, \ldots, n-1$$
3. Racines carrées d'un nombre complexe (méthode algébrique)
Pour déterminer les racines carrées de $a+ib$ sous forme algébrique $x+iy$, on résout le système obtenu en identifiant :
$$x^2 - y^2 = a, \qquad 2xy = b, \qquad x^2+y^2 = \sqrt{a^2+b^2}$$
Le signe de $xy$ (donné par le signe de $b$) permet de choisir les bons couples $(x,y)$.
4. Polynômes à coefficients réels
Théorème : si $P$ est un polynôme à coefficients réels et si $z_0$ est une racine (complexe) de $P$, alors le conjugué $\bar{z_0}$ est aussi racine de $P$.
Conséquence : un polynôme à coefficients réels de degré impair admet toujours au moins une racine réelle.
5. Factoriser un polynôme connaissant une racine
Si $z_0$ est une racine de $P(z)$ (polynôme de degré $n$), alors $P(z)$ se factorise sous la forme :
$$P(z) = (z - z_0) \, Q(z)$$
où $Q$ est un polynôme de degré $n-1$, que l'on détermine par identification des coefficients. On peut ensuite résoudre $Q(z) = 0$ pour trouver les autres racines.