Pour une série triée par ordre croissant, la médiane $Me$ partage la série en deux effectifs égaux. Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ la partagent en quatre parties égales. L'écart interquartile $Q_3-Q_1$ mesure la dispersion des valeurs centrales. On définit de même les déciles $D_1,\ldots,D_9$, qui partagent la série en dix parties égales.
2. Courbe de Lorenz
La courbe de Lorenz représente, pour une variable comme le revenu, la proportion cumulée de masse totale ($y$) détenue par une proportion cumulée $x$ de la population, classée par valeurs croissantes. Elle relie $(0;0)$ à $(1;1)$.
La diagonale du carré ($y=x$) représente une répartition parfaitement égalitaire. Plus la courbe s'éloigne de la diagonale, plus la répartition est inégalitaire.
3. Indice de Gini
L'indice de Gini se calcule à partir de l'aire $A$ entre la diagonale et la courbe de Lorenz :
$$\text{Indice de Gini} = 2A$$
Il est compris entre 0 (égalité parfaite) et 1 (inégalité maximale).
4. Interprétation
Ces outils permettent de comparer des répartitions au-delà de la simple moyenne, qui peut masquer de fortes inégalités.
Exercices Corrigés
Voici 11 salaires mensuels (en centaines d'euros), triés : 12, 14, 15, 16, 18, 20, 22, 24, 28, 35, 50. Déterminer la médiane, puis $Q_1$ et $Q_3$.
$n=11$ : la médiane est la 6e valeur, $Me=20$. $Q_1$ : $0{,}25\times11=2{,}75\to$ 3e valeur $=15$. $Q_3$ : $0{,}75\times11=8{,}25\to$ 9e valeur $=28$.
(suite) Calculer l'écart interquartile et interpréter.
$Q_3-Q_1 = 28-15 = 13$ (soit 1300€). Cet écart mesure la dispersion des 50% de salaires centraux : plus il est grand, plus ces salaires sont dispersés.
Dans un village, la répartition des terres entre 5 exploitants (classés par surface croissante) donne les proportions cumulées de surface : 5%, 15%, 30%, 55%, 100%. Construire les points de la courbe de Lorenz (proportion cumulée de population par 20%, proportion cumulée de surface).
(suite) La répartition est-elle égalitaire ? Justifier en comparant à la diagonale $y=x$.
Pour une répartition égalitaire, on aurait $y=x$, par exemple $(0{,}2;0{,}2)$. Ici $(0{,}2;0{,}05)$ est très en dessous de la diagonale : la répartition des terres est nettement inégalitaire.
Deux pays A et B ont des indices de Gini de $0{,}25$ et $0{,}45$. Lequel présente la répartition la plus inégalitaire ?
Plus l'indice de Gini est élevé, plus l'inégalité est forte. Le pays B (0,45) est plus inégalitaire que le pays A (0,25).
On approxime une courbe de Lorenz par les points $(0;0)$, $(0{,}5;0{,}2)$, $(1;1)$ reliés par des segments. Calculer l'aire sous la courbe (entre la courbe et l'axe des abscisses) à l'aide de la formule de l'aire d'un trapèze sur chaque intervalle.
Sur $[0;0{,}5]$ : trapèze de bases 0 et 0,2, largeur 0,5, aire $=\dfrac{0+0{,}2}{2}\times0{,}5=0{,}05$. Sur $[0{,}5;1]$ : trapèze de bases 0,2 et 1, largeur 0,5, aire $=\dfrac{0{,}2+1}{2}\times0{,}5=0{,}3$. Aire totale $=0{,}05+0{,}3=0{,}35$.
(suite) En déduire l'aire $A$ entre la diagonale et la courbe de Lorenz, puis l'indice de Gini associé (l'aire sous la diagonale sur $[0;1]$ vaut 0,5).
Un pays a un indice de Gini de 0. Que peut-on en conclure ?
La courbe de Lorenz est confondue avec la diagonale : la répartition des richesses est parfaitement égalitaire (chaque tranche de x% de la population détient exactement x% de la richesse totale).
Le revenu médian d'une population est de 1800€, le revenu moyen de 2400€. Que peut-on en déduire sur la répartition des revenus ?
La moyenne étant nettement supérieure à la médiane, la répartition est asymétrique : elle est tirée vers le haut par une minorité de très hauts revenus, ce qui traduit une certaine inégalité.
Expliquer pourquoi comparer seulement les revenus moyens de deux pays peut être trompeur, et proposer un indicateur complémentaire.
Le revenu moyen peut être fortement influencé par un petit nombre de très hauts revenus et ne renseigne pas sur la dispersion : deux pays peuvent avoir le même revenu moyen avec des répartitions très différentes. Des indicateurs comme la médiane, les quartiles, la courbe de Lorenz ou l'indice de Gini permettent de décrire la dispersion et le degré d'inégalité de la répartition.
