Lorsqu'on prélève un échantillon de taille $n$ dans une population de proportion $p$, la fréquence observée $f$ varie d'un échantillon à l'autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage.
2. Intervalle de fluctuation asymptotique
Sous les conditions $n\ge30$, $np\ge5$, $n(1-p)\ge5$, au seuil de 95%, la fréquence $f$ appartient, avec une probabilité proche de $0{,}95$, à l'intervalle :
Il sert à la prise de décision : si $f\notin I_n$, on rejette l'hypothèse « la proportion vaut $p$ », au risque de 5%.
3. Estimation : intervalle de confiance
Lorsque $p$ est inconnue, on l'estime à partir de $f$ observée sur un échantillon (avec $n\ge30$, $nf\ge5$, $n(1-f)\ge5$) par l'intervalle de confiance au niveau 95% :
Environ 95% des intervalles ainsi construits, sur un grand nombre d'échantillons, contiennent la vraie proportion $p$.
4. Prise de décision
On calcule l'intervalle de fluctuation asymptotique $I_n$ associé à $p_0$ (hypothèse testée).
Si $f\in I_n$, on ne rejette pas l'hypothèse.
Sinon, on la rejette au risque d'erreur de 5%.
Exercices Corrigés
Un fabricant affirme que 8% de ses pièces sont défectueuses. On prélève $n=200$ pièces. Vérifier que les conditions d'utilisation de l'intervalle de fluctuation asymptotique sont réunies.
$n=200\ge30$ ✓ ; $np=200\times0{,}08=16\ge5$ ✓ ; $n(1-p)=200\times0{,}92=184\ge5$ ✓. Les conditions sont réunies.
(suite) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95%.
$\sqrt{\dfrac{0{,}08\times0{,}92}{200}} \approx 0{,}0192$. $1{,}96\times0{,}0192\approx0{,}0376$. $I_n = [0{,}08-0{,}0376\,;\,0{,}08+0{,}0376] = [0{,}0424\,;\,0{,}1176]$, soit environ $[4{,}2\%\,;\,11{,}8\%]$.
(suite) Sur l'échantillon, on observe 24 pièces défectueuses. Peut-on rejeter l'affirmation du fabricant au risque de 5% ?
$f=\dfrac{24}{200}=0{,}12=12\%$. Comme $0{,}12 > 0{,}1176$, $f\notin I_n$ : on rejette l'affirmation du fabricant au risque de 5%.
On lance $n=100$ fois une pièce de monnaie et on observe 62 « Face ». Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique associé à $p=0{,}5$, puis conclure.
$\sqrt{\dfrac{0{,}5\times0{,}5}{100}} = 0{,}05$. $1{,}96\times0{,}05=0{,}098$. $I_n=[0{,}402\,;\,0{,}598]$. $f=\dfrac{62}{100}=0{,}62 \notin I_n$ : on rejette l'hypothèse d'équilibre de la pièce au risque de 5%.
Un institut interroge $n=1000$ personnes ; 420 se déclarent favorables à une réforme. Calculer $f$, vérifier les conditions, puis donner l'intervalle de confiance à 95% de la proportion réelle de personnes favorables.
$f=\dfrac{420}{1000}=0{,}42$. Conditions : $n=1000\ge30$, $nf=420\ge5$, $n(1-f)=580\ge5$, réunies. $\dfrac{1}{\sqrt{1000}}\approx0{,}0316$. Intervalle de confiance : $[0{,}42-0{,}0316\,;\,0{,}42+0{,}0316] = [0{,}3884\,;\,0{,}4516]$, soit environ $[38{,}8\%\,;\,45{,}2\%]$.
(suite) Peut-on affirmer que la réforme est soutenue par plus de 50% de la population ?
L'intervalle de confiance $[38{,}8\%\,;\,45{,}2\%]$ est entièrement inférieur à 50%, donc on peut affirmer, au niveau de confiance 95%, que la proportion réelle de personnes favorables est inférieure à 50% : pas de majorité.
Expliquer la différence entre un intervalle de fluctuation et un intervalle de confiance.
L'intervalle de fluctuation part d'une proportion $p$ supposée connue dans la population, pour prévoir dans quel intervalle devrait se situer la fréquence observée sur un échantillon (utile pour tester une hypothèse). L'intervalle de confiance part au contraire d'une fréquence $f$ observée, la proportion $p$ étant inconnue, pour estimer un intervalle contenant probablement $p$.
Une machine réglée pour produire 5% de pièces hors norme est contrôlée sur $n=400$ pièces : 30 sont hors norme. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% et indiquer si la machine semble bien réglée.
$\sqrt{\dfrac{0{,}05\times0{,}95}{400}}\approx0{,}0109$. $1{,}96\times0{,}0109\approx0{,}0214$. $I_n=[0{,}0286\,;\,0{,}0714]$. $f=\dfrac{30}{400}=0{,}075 > 0{,}0714$ donc $f\notin I_n$ : la machine semble mal réglée au risque de 5%.
On veut qu'un intervalle de confiance ait une amplitude inférieure à $0{,}02$. Sachant que l'amplitude de $\left[f-\dfrac{1}{\sqrt n};f+\dfrac{1}{\sqrt n}\right]$ vaut $\dfrac{2}{\sqrt n}$, déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon.
On veut $\dfrac{2}{\sqrt n} < 0{,}02$, soit $\sqrt n > 100$, soit $n > 10\,000$. Il faut donc un échantillon d'au moins $10\,001$ personnes (on retient en pratique $n\ge10\,000$).
Un laboratoire annonce un traitement efficace chez 75% des patients. Sur un essai de $n=150$ patients, 102 sont traités efficacement. 1) Vérifier les conditions d'application. 2) Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique. 3) Conclure.
1) $n=150\ge30$, $np=112{,}5\ge5$, $n(1-p)=37{,}5\ge5$ : conditions vérifiées. 2) $\sqrt{\dfrac{0{,}75\times0{,}25}{150}}\approx0{,}0354$. $1{,}96\times0{,}0354\approx0{,}0693$. $I_n=[0{,}6807\,;\,0{,}8193]$. 3) $f=\dfrac{102}{150}=0{,}68 < 0{,}6807$ : $f\notin I_n$, on rejette l'affirmation du laboratoire au risque de 5% (résultat à la limite, qui mérite d'être commenté).
