Lois de probabilité à densité
Cours
1. Variable aléatoire continue et densité
Une variable aléatoire $X$ est continue si elle peut prendre toute valeur d'un intervalle. Sa loi est définie par une fonction densité $f$, continue et positive sur un intervalle $I$, telle que $\displaystyle\int_I f(x)\,dx=1$. Pour $a,b\in I$ :
$$P(a\le X\le b) = \int_a^b f(x)\,dx$$
Pour une variable continue, $P(X=a)=0$.
2. Loi uniforme
$X\sim\mathcal{U}([a;b])$ si sa densité est constante : $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ sur $[a;b]$. Pour $[c;d]\subset[a;b]$ :
$$P(c\le X\le d) = \dfrac{d-c}{b-a} \qquad\qquad E(X) = \dfrac{a+b}{2}$$
3. Loi exponentielle
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda>0$ sur $[0;+\infty[$ si $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$. Alors :
$$P(X\le t) = 1-e^{-\lambda t} \qquad P(X>t) = e^{-\lambda t} \qquad E(X) = \dfrac1\lambda$$
Absence de mémoire : pour $s,t\ge0$, $P_{X\ge t}(X\ge t+s) = P(X\ge s)$.
4. Introduction à la loi normale
La loi normale $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ a une densité en forme de cloche symétrique autour de $\mu$. Règle des 68-95-99,7 : environ 68% des valeurs sont dans $[\mu-\sigma;\mu+\sigma]$, 95% dans $[\mu-2\sigma;\mu+2\sigma]$, 99,7% dans $[\mu-3\sigma;\mu+3\sigma]$. En pratique, les probabilités se calculent à la calculatrice.