Soient $A$ et $B$ deux événements, $P(A)\neq0$. La probabilité de $B$ sachant $A$ est :
$$P_A(B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$$
On en déduit $P(A\cap B) = P(A)\times P_A(B)$.
2. Arbre pondéré
Règle du produit : la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités inscrites sur les branches de ce chemin. Règle de la somme : la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui y mènent.
3. Formule des probabilités totales
Si $A_1,\ldots,A_n$ forment une partition de l'univers, alors pour tout événement $B$ :
$A$ et $B$ sont indépendants si $P_A(B)=P(B)$, ce qui équivaut à :
$$P(A\cap B) = P(A)\times P(B)$$
5. Variable aléatoire : rappels
Pour $X$ prenant les valeurs $x_1,\ldots,x_n$ avec probabilités $p_1,\ldots,p_n$ : $E(X)=\sum p_i x_i$ et $V(X)=\sum p_i(x_i-E(X))^2$.
Exercices Corrigés
Dans une classe, 60% des élèves sont des filles. Parmi les filles, 30% pratiquent un sport en club ; parmi les garçons, 45%. On choisit un élève au hasard. Calculer $P(\text{fille et sport en club})$.
$P(F)=0{,}6$, $P_F(S)=0{,}3$, donc $P(F\cap S) = 0{,}6\times0{,}3 = 0{,}18$.
(suite) Calculer la probabilité que l'élève pratique un sport en club.
Une urne contient 5 boules rouges et 3 vertes. On tire successivement, sans remise, deux boules. On note $R_1$ « rouge au 1er tirage » et $R_2$ « rouge au 2e tirage ». Calculer $P(R_1)$, $P_{R_1}(R_2)$, puis $P(R_1\cap R_2)$.
$P(R_1)=\dfrac58$. Après $R_1$, il reste 4 rouges sur 7 : $P_{R_1}(R_2)=\dfrac47$. $P(R_1\cap R_2) = \dfrac58\times\dfrac47 = \dfrac{5}{14}$.
(suite) Calculer $P(R_2)$ à l'aide de la formule des probabilités totales.
$P(R_2) = P(R_1)P_{R_1}(R_2) + P(\overline{R_1})P_{\overline{R_1}}(R_2) = \dfrac58\times\dfrac47 + \dfrac38\times\dfrac57 = \dfrac{20}{56}+\dfrac{15}{56} = \dfrac{5}{8}$ (on retrouve $P(R_2)=P(R_1)$, résultat classique du tirage sans remise).
On a $P(A)=0{,}4$, $P(B)=0{,}5$ et $P(A\cap B)=0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?
$P(A)\times P(B) = 0{,}4\times0{,}5 = 0{,}2 = P(A\cap B)$. Les événements $A$ et $B$ sont donc indépendants.
On lance deux dés équilibrés. $A$ : « le premier dé donne un nombre pair », $B$ : « la somme vaut 7 ». Montrer que $A$ et $B$ sont indépendants.
$P(A)=\dfrac12$. Les issues sommant à 7 sont $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$ : $P(B)=\dfrac6{36}=\dfrac16$. $A\cap B$ : $(2,5),(4,3),(6,1)$, soit $P(A\cap B)=\dfrac3{36}=\dfrac1{12}$. Or $P(A)\times P(B)=\dfrac12\times\dfrac16=\dfrac1{12}=P(A\cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.
La machine A produit 70% des pièces d'une usine, dont 2% sont défectueuses ; la machine B produit 30%, dont 5% sont défectueuses. On prend une pièce au hasard. 1) Calculer la probabilité qu'elle soit défectueuse. 2) Sachant qu'elle est défectueuse, calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine B.
