Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. Une primitive de $f$ sur $I$ est une fonction $F$ dérivable sur $I$ telle que $F'=f$. Si $F$ est une primitive de $f$, toutes les primitives de $f$ sont de la forme $F+k$, $k\in\mathbb{R}$.
2. Primitives usuelles
$f(x)=k$ (constante) a pour primitive $F(x)=kx$.
$f(x)=x^n$ ($n\neq-1$) a pour primitive $F(x)=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.
$f(x)=\dfrac1x$ (sur $]0;+\infty[$) a pour primitive $F(x)=\ln x$.
$f(x)=e^x$ a pour primitive $F(x)=e^x$.
$f(x)=u'e^u$ a pour primitive $F(x)=e^u$.
$f(x)=\dfrac{u'}{u}$ (avec $u>0$) a pour primitive $F(x)=\ln u$.
3. Intégrale d'une fonction continue
Si $f$ est continue et positive sur $[a;b]$, $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire, en unités d'aire, entre la courbe de $f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle contenant $a$ et $b$ :
$$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$$
4. Propriétés
Linéarité : $\int_a^b (f+g) = \int_a^b f + \int_a^b g$ et $\int_a^b kf = k\int_a^b f$
Chasles : $\int_a^b f + \int_b^c f = \int_a^c f$
Si $f\le0$ sur $[a;b]$, $\int_a^b f(x)\,dx \le 0$ : l'intégrale est alors l'opposé d'une aire.
5. Valeur moyenne
La valeur moyenne de $f$ continue sur $[a;b]$ est $\mu = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Exercices Corrigés
Déterminer une primitive de $f(x) = 3x^2-4x+5$ sur $\mathbb{R}$.
$F(x) = x^3-2x^2+5x+k$, $k\in\mathbb{R}$.
Déterminer une primitive de $f(x) = x^3 + \dfrac2x$ sur $]0;+\infty[$.
$F(x) = \dfrac{x^4}{4} + 2\ln x + k$, $k\in\mathbb{R}$.
Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-1)\,dx$.
Une primitive de $3x^2-1$ est $F(x)=x^3-x$. $\int_0^2(3x^2-1)dx = F(2)-F(0) = (8-2)-0 = 6$.
La vitesse instantanée d'un objet est $v(t) = 3t^2+2$ (en m/s) pour $t\in[0;4]$ (t en secondes). Calculer la distance parcourue entre $t=0$ et $t=4$, sachant que cette distance vaut $\int_0^4 v(t)\,dt$.
Une primitive de $v$ est $V(t)=t^3+2t$. $\int_0^4 v(t)dt = V(4)-V(0) = (64+8)-0 = 72$ m.
