Fonction logarithme népérien
Cours
1. Définition
La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est définie sur $]0\,;\,+\infty[$ comme la fonction réciproque de l'exponentielle : pour $x>0$, $y=\ln x \iff x=e^y$. On a $\ln 1 = 0$ et $\ln e = 1$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels $a>0$ et $b>0$ :
- $\ln(ab) = \ln a + \ln b$
- $\ln\left(\dfrac{1}{a}\right) = -\ln a$
- $\ln\left(\dfrac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b$
- $\ln(a^n) = n\ln a$ pour tout entier $n$
- $\ln(\sqrt{a}) = \dfrac12 \ln a$
3. Dérivée, variations
$\ln$ est dérivable sur $]0;+\infty[$ et $\ln'(x) = \dfrac1x$. Comme $\dfrac1x>0$, $\ln$ est strictement croissante sur $]0;+\infty[$.
Pour $\ln(u(x))$ avec $u(x)>0$ : $\left(\ln u\right)' = \dfrac{u'}{u}$.
4. Limites
$$\lim_{x \to 0^+} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty$$
Croissance comparée : $\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ et $\lim_{x\to0^+} x\ln x = 0$.
5. Équations et inéquations
Pour $a>0$ et $b>0$ : $\ln a = \ln b \iff a=b$ et $\ln a < \ln b \iff a
Exercices Corrigés
Simplifier $A = \ln 8 - \ln 2 + \ln\dfrac14$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x) = 2$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(2x-1) = \ln(3)$.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(x+2) \le 1$.
Dériver $f(x) = \ln(x^2+1)$ sur $\mathbb{R}$.
Étudier les variations de $f(x) = x - \ln x$ sur $]0;+\infty[$, et donner ses limites en $0^+$ et en $+\infty$.
Déterminer une équation de la tangente à la courbe de $\ln$ au point d'abscisse $e$.
Calculer les limites suivantes : 1) $\lim_{x\to+\infty}(\ln x - x)$ ; 2) $\lim_{x\to0^+} x\ln x$.
Une substance radioactive a une masse $m(t) = m_0 e^{-\lambda t}$. Exprimer sa demi-vie $t_{1/2}$ (qui vérifie $m(t_{1/2})=\dfrac{m_0}{2}$) en fonction de $\lambda$, à l'aide du logarithme népérien.
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $(\ln x)^2 - 3\ln x + 2 = 0$ (on posera $X=\ln x$, domaine $x>0$).