Il existe une unique fonction dérivable sur $\mathbb{R}$, notée $\exp$, telle que $\exp' = \exp$ et $\exp(0) = 1$. On l'appelle fonction exponentielle et on note $\exp(x) = e^x$, où $e = \exp(1) \approx 2{,}718$.
2. Propriétés algébriques
Pour tous réels $a$ et $b$ :
$e^{a+b} = e^a \times e^b$
$e^{-a} = \dfrac{1}{e^a}$
$e^{a-b} = \dfrac{e^a}{e^b}$
$(e^a)^n = e^{na}$ pour tout entier $n$
3. Signe, variations, limites
Pour tout réel $x$, $e^x > 0$. La fonction exponentielle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ (sa dérivée $e^x$ est strictement positive).
Croissance comparée : $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} x e^x = 0$ : l'exponentielle « l'emporte » sur les puissances de $x$.
4. Représentation graphique
La courbe passe par le point $(0\,;\,1)$, où la tangente a pour coefficient directeur $e^0=1$ (équation $y=x+1$). Elle reste toujours au-dessus de l'axe des abscisses, asymptote horizontale en $-\infty$.
5. Équations et inéquations
Comme $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}$ :
$$e^a = e^b \iff a = b \qquad\qquad e^a < e^b \iff a < b$$
Pour dériver $e^{u(x)}$ : $\left(e^{u}\right)' = u' \times e^{u}$.
Exercices Corrigés
Simplifier les écritures suivantes : $A = \dfrac{e^3 \times e^{-5}}{e^{-4}}$ et $B = (e^2)^3 \times e^{-1}$.
Dériver la fonction $f(x) = (2x+1)e^x$ sur $\mathbb{R}$.
$f'(x) = 2e^x + (2x+1)e^x = (2x+3)e^x$.
Dériver la fonction $g(x) = e^{-x^2+3x}$ sur $\mathbb{R}$.
On pose $u(x)=-x^2+3x$, donc $u'(x)=-2x+3$. Alors $g'(x) = (-2x+3)e^{-x^2+3x}$.
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ (calcul de $f'$, tableau de signe, limites en $\pm\infty$ à l'aide de la croissance comparée).
$f'(x) = e^{-x} - xe^{-x} = (1-x)e^{-x}$. Comme $e^{-x}>0$, le signe de $f'$ est celui de $1-x$ : $f'(x)>0$ pour $x<1$, $f'(x)<0$ pour $x>1$. $f$ est croissante sur $]-\infty;1]$, décroissante sur $[1;+\infty[$, maximum $f(1)=\dfrac1e$. Limites : $\lim_{x\to-\infty} xe^{-x} = -\infty$ (produit de $-\infty$ par $+\infty$) ; $\lim_{x\to+\infty} xe^{-x} = 0$ (croissance comparée, car $xe^{-x}=\dfrac{x}{e^x}$).
Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse $1$.
$\exp(1)=e$ et $\exp'(1)=e$. La tangente en $1$ a pour équation $y = e(x-1)+e = ex$.
1) Par croissance comparée, $e^x$ l'emporte sur $x^2$ : $\lim_{x\to+\infty} (x^2-e^x) = -\infty$. 2) Par croissance comparée en $-\infty$, $\lim_{x\to-\infty} x^n e^x = 0$ pour tout entier $n$, donc la limite vaut $0$.
Une population de bactéries suit le modèle $N(t) = N_0 e^{0{,}3t}$ où $t$ est le temps en heures et $N_0 = 500$. 1) Calculer $N(0)$. 2) Déterminer le sens de variation de $N$. 3) Après combien d'heures la population a-t-elle été multipliée par $e^{1{,}5}$ ?
On considère $f(x) = e^{2x}-e^x$ sur $\mathbb{R}$. 1) Vérifier que $f(x) = e^x(e^x-1)$. 2) En déduire le signe de $f(x)$ selon les valeurs de $x$.
1) $e^x(e^x-1) = e^{2x}-e^x = f(x)$. 2) Comme $e^x>0$ toujours, le signe de $f(x)$ est celui de $e^x-1$. Or $e^x-1>0 \iff e^x>e^0 \iff x>0$. Donc $f(x)<0$ sur $]-\infty;0[$, $f(0)=0$, $f(x)>0$ sur $]0;+\infty[$.
