Une suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$ si, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = u_n + r$. Son terme général est $u_n = u_0 + nr$.
Une suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$ si, pour tout entier $n$, $u_{n+1} = q \times u_n$. Son terme général est $u_n = u_0 \times q^n$.
2. Sens de variation d'une suite
Pour étudier les variations d'une suite $(u_n)$, on peut étudier le signe de $u_{n+1} - u_n$ :
si $u_{n+1} - u_n > 0$ pour tout $n$, la suite est croissante ;
si $u_{n+1} - u_n < 0$ pour tout $n$, la suite est décroissante.
Lorsque tous les termes sont strictement positifs, on peut aussi comparer le quotient $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à 1.
3. Limite d'une suite : approche intuitive
On dit qu'une suite $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$ si les termes $u_n$ se rapprochent d'aussi près que l'on veut de $\ell$ lorsque $n$ devient grand. On note alors :
$$\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell$$
Une suite qui ne converge pas est dite divergente. Elle peut diverger vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou ne pas avoir de limite du tout (suite oscillante).
4. Limites des suites usuelles
Pour une suite géométrique de raison $q$ :
si $-1 < q < 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = 0$ ;
si $q = 1$, alors $q^n = 1$ pour tout $n$ ;
si $q > 1$, alors $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ ;
si $q \le -1$, la suite $(q^n)$ n'a pas de limite.
Théorème de comparaison : si, à partir d'un certain rang, $u_n \ge v_n$ et $\lim_{n \to +\infty} v_n = +\infty$, alors $\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty$ (résultat analogue pour $-\infty$).
Théorème des gendarmes : si, à partir d'un certain rang, $v_n \le u_n \le w_n$ et si $(v_n)$ et $(w_n)$ convergent vers la même limite $\ell$, alors $(u_n)$ converge aussi vers $\ell$.
6. Suites majorées, minorées, bornées
Une suite $(u_n)$ est majorée s'il existe un réel $M$ tel que $u_n \le M$ pour tout $n$. Elle est minorée s'il existe un réel $m$ tel que $u_n \ge m$ pour tout $n$. Elle est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Théorème de convergence monotone (admis) : toute suite croissante et majorée converge. Toute suite décroissante et minorée converge.
Exercices Corrigés
Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de premier terme $u_0 = 7$ et de raison $r = 4$. 1) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$. 2) Calculer $u_{15}$. 3) Calculer la somme $S = u_0 + u_1 + \cdots + u_{15}$.
Soit $(v_n)$ une suite géométrique de premier terme $v_0 = 3$ et de raison $q = \dfrac{1}{2}$. 1) Exprimer $v_n$ en fonction de $n$. 2) Calculer $v_5$. 3) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} v_n$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout $n \ge 0$ par $u_n = n^2 - 5n$. Étudier le sens de variation de $(u_n)$ en calculant $u_{n+1} - u_n$.
$u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 5(n+1) - (n^2-5n) = n^2+2n+1-5n-5-n^2+5n = 2n - 4$. Pour $n \ge 2$, $2n-4 \ge 0$ donc la suite est croissante à partir du rang 2. Pour $n=0$ ou $n=1$, $2n-4<0$, la suite décroît d'abord.
Soit $(w_n)$ la suite définie par $w_n = 2^n$ pour tout entier $n \ge 0$. Étudier le sens de variation de $(w_n)$ en utilisant le quotient $\dfrac{w_{n+1}}{w_n}$.
$\dfrac{w_{n+1}}{w_n} = \dfrac{2^{n+1}}{2^n} = 2$. Comme $w_n>0$ pour tout $n$ et que ce quotient vaut $2>1$, la suite $(w_n)$ est strictement croissante.
1) $\lim_{n\to+\infty} (5n-3) = +\infty$. 2) $\lim_{n\to+\infty} \dfrac{2}{n} = 0$ donc $\lim_{n\to+\infty} v_n = 7$. 3) On factorise : $w_n = n\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - 1\right)$. Or $\dfrac{1}{\sqrt n}\to 0$ donc $\dfrac{1}{\sqrt n}-1 \to -1$, et $n\to+\infty$ ; par produit, $w_n \to -\infty$.
Pour chacune des valeurs de $q$ suivantes, donner la limite (si elle existe) de la suite géométrique $(q^n)$ : 1) $q = 0{,}9$ 2) $q = 1{,}2$ 3) $q = -0{,}5$ 4) $q = -3$
1) $-1<0{,}9<1$ donc $\lim q^n = 0$. 2) $1{,}2>1$ donc $\lim q^n = +\infty$. 3) $-1<-0{,}5<1$ donc $\lim q^n = 0$. 4) $-3 \le -1$ donc la suite $(q^n)$ n'a pas de limite (elle oscille, avec une amplitude qui tend vers $+\infty$).
Soit $(u_n)$ une suite telle que, pour tout $n \ge 1$, $u_n \ge n^2 - 10$. Déterminer $\lim_{n \to +\infty} u_n$ en justifiant à l'aide d'un théorème du cours.
On a $\lim_{n\to+\infty} (n^2-10) = +\infty$. Comme $u_n \ge n^2-10$ pour tout $n\ge1$, le théorème de comparaison permet de conclure que $\lim_{n\to+\infty} u_n = +\infty$.
On considère la suite $(u_n)$ définie pour $n \ge 1$ par $u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}$. 1) Justifier que, pour tout $n \ge 1$, $-\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}$. 2) En déduire $\lim_{n \to +\infty} u_n$.
1) Pour tout réel $x$, $-1 \le \cos(x) \le 1$, donc en divisant par $n>0$ : $-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\cos(n)}{n} \le \dfrac{1}{n}$. 2) Comme $\lim_{n\to+\infty} \left(-\dfrac1n\right) = \lim_{n\to+\infty}\dfrac1n = 0$, le théorème des gendarmes donne $\lim_{n\to+\infty} u_n = 0$.
Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et, pour tout $n$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{2}$. 1) Montrer par récurrence que, pour tout $n$, $u_n \le 4$. 2) Montrer que $(u_n)$ est croissante. 3) En déduire que $(u_n)$ converge, puis calculer sa limite (on admettra que si la limite $\ell$ existe, elle vérifie $\ell = \dfrac{\ell+4}{2}$).
1) Initialisation : $u_0 = 1 \le 4$. Hérédité : supposons $u_n \le 4$. Alors $u_{n+1} = \dfrac{u_n+4}{2} \le \dfrac{4+4}{2} = 4$. Donc pour tout $n$, $u_n \le 4$. 2) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{u_n+4}{2} - u_n = \dfrac{4-u_n}{2}$. Comme $u_n \le 4$ (question 1), $4-u_n \ge 0$ donc $u_{n+1}-u_n \ge 0$ : la suite est croissante. 3) $(u_n)$ est croissante et majorée par 4, donc elle converge vers une limite $\ell \le 4$. En passant à la limite dans la relation de récurrence : $\ell = \dfrac{\ell+4}{2}$, soit $2\ell = \ell+4$, donc $\ell = 4$.
Un capital initial de $1000$ € est placé à intérêts composés au taux annuel de $2\%$. On note $c_n$ le capital, en euros, au bout de $n$ années. 1) Exprimer $c_n$ en fonction de $n$. 2) Quelle est la nature de la suite $(c_n)$ ? 3) Déterminer $\lim_{n \to +\infty} c_n$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. 4) Au bout de combien d'années le capital dépasse-t-il $1500$ € ? (on pourra s'aider d'un tableau de valeurs ou d'un algorithme)
1) Chaque année, le capital est multiplié par $1{,}02$, donc $(c_n)$ est géométrique de raison $q=1{,}02$ et de premier terme $c_0 = 1000$ : $c_n = 1000 \times 1{,}02^n$. 2) C'est une suite géométrique de raison $q = 1{,}02 > 1$. 3) Comme $q>1$, $\lim_{n\to+\infty} 1{,}02^n = +\infty$, donc $\lim_{n\to+\infty} c_n = +\infty$ : dans ce modèle théorique (sans retrait ni limite de durée), le capital croît indéfiniment. 4) On cherche le plus petit $n$ tel que $1000\times1{,}02^n > 1500$, soit $1{,}02^n > 1{,}5$. En testant les valeurs successives (ou avec un algorithme de seuil), on trouve $n = 21$ : au bout de 21 ans, le capital dépasse 1500 €.
