Analyse de l’information chiffrée — statistiques bivariées
Cours
1. Introduction
Les statistiques bivariées permettent d'étudier deux caractères simultanément sur une même population.
Le mot bivarié signifie que l'on étudie deux variables statistiques en même temps.
On peut par exemple chercher à savoir s'il existe une relation entre :
- la taille et la masse d'une personne ;
- le nombre d'heures de révision et la note obtenue ;
- l'âge et le salaire ;
- la distance parcourue et la consommation de carburant ;
- la température et la consommation d'électricité.
Pourquoi étudier deux caractères simultanément ?
Lorsque l'on étudie un seul caractère, on cherche essentiellement à décrire sa répartition.
Lorsque l'on étudie deux caractères, on cherche en plus à savoir comment ils évoluent l'un par rapport à l'autre.
On peut alors se poser des questions comme :
- Les élèves qui révisent davantage obtiennent-ils généralement de meilleures notes ?
- Une personne plus grande est-elle généralement plus lourde ?
- Lorsque la température augmente, la consommation d'électricité augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Exemple introductif
On observe cinq élèves. Pour chacun d'eux, on relève :
- $X$ : le nombre d'heures de révision ;
- $Y$ : la note obtenue au contrôle.
| Élève | Heures de révision $X$ | Note $Y$ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 8 |
| 2 | 2 | 10 |
| 3 | 3 | 11 |
| 4 | 4 | 14 |
| 5 | 5 | 16 |
Chaque élève fournit donc un couple de valeurs :
On peut représenter ces couples dans un repère.
Représentation graphique
Figure : nuage de points représentant le nombre d'heures de révision et les notes obtenues.
Le nuage de points présente ici une tendance générale ascendante : lorsque le nombre d'heures de révision augmente, la note a tendance à augmenter également.
2. Caractères qualitatifs et quantitatifs
Dans une étude statistique, un caractère est une propriété observée sur chacun des individus de la population étudiée.
Un caractère peut être qualitatif ou quantitatif.
2.1. Caractère qualitatif
Un caractère est qualitatif lorsqu'il décrit une catégorie, une qualité ou un type.
Les valeurs prises par le caractère ne sont pas des nombres représentant une mesure.
Exemples :
couleur des yeux profession type de véhicule mode de transportPar exemple, pour le caractère « couleur des yeux », les modalités peuvent être :
- bleu ;
- vert ;
- marron ;
- gris.
2.2. Caractère quantitatif
Un caractère est quantitatif lorsqu'il prend des valeurs numériques correspondant à des mesures ou à des nombres.
Exemples :
taille masse âge durée distanceLes caractères quantitatifs peuvent eux-mêmes être de deux types : discrets ou continus.
2.3. Caractère quantitatif discret
Un caractère quantitatif est discret lorsqu'il prend des valeurs isolées.
Il s'agit souvent de nombres entiers obtenus par un comptage.
Exemple : le nombre d'enfants dans une famille.
On peut avoir :
Mais il n'est pas possible d'avoir $2{,}5$ enfants dans cette situation.
quantitatif discret2.4. Caractère quantitatif continu
Un caractère quantitatif est continu lorsqu'il peut prendre toute valeur dans un intervalle.
Exemple : la taille d'une personne.
Une taille peut être mesurée par exemple par :
La variable peut donc prendre une très grande quantité de valeurs dans un intervalle donné.
quantitatif continu2.5. Tableau récapitulatif
| Type de caractère | Définition | Exemple |
|---|---|---|
| Qualitatif | Décrit une catégorie ou une qualité | Couleur des yeux |
| Quantitatif discret | Prend des valeurs isolées | Nombre d'enfants |
| Quantitatif continu | Peut prendre toute valeur d'un intervalle | Taille d'une personne |
3. Population, individus et caractères
Une population est l'ensemble des individus étudiés lors d'une étude statistique.
Chaque élément de cette population est appelé un individu.
Dans une étude bivariée, on observe deux caractères sur chaque individu. On peut les noter $X$ et $Y$.
Pour un individu donné, les deux valeurs observées forment un couple de données :
Pour une population de $n$ individus, on obtient alors :
Exemple
On reprend l'étude des heures de révision et des notes.
Pour le troisième élève, on a :
Cela signifie que cet élève a révisé pendant $3$ heures et a obtenu la note $11$.
4. Tableau de données
Lorsque deux caractères quantitatifs sont étudiés, les données peuvent être présentées dans un tableau à double entrée.
| Individu | $X$ | $Y$ | Couple $(X\,;\,Y)$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 15 | $(12\,;\,15)$ |
| 2 | 15 | 18 | $(15\,;\,18)$ |
| 3 | 18 | 21 | $(18\,;\,21)$ |
| 4 | 20 | 24 | $(20\,;\,24)$ |
Chaque ligne correspond à un individu. Chaque colonne correspond à un caractère observé.
À retenir : dans une étude bivariée, chaque individu est associé à un couple $(x_i\,;\,y_i)$.
Lecture du tableau
Pour l'individu $2$, on lit :
Le couple associé à cet individu est donc :
Ce couple peut ensuite être représenté par un point dans un repère. C'est précisément le principe du nuage de points.
Exercices Corrigés
Exercice — Compléter un tableau croisé
On étudie une population composée d'hommes et de femmes appartenant à deux catégories A et B.
On dispose des informations suivantes :
- 10 hommes appartiennent à la catégorie A ;
- 5 hommes appartiennent à la catégorie B ;
- 8 femmes appartiennent à la catégorie A ;
- 12 femmes appartiennent à la catégorie B.
Compléter le tableau croisé suivant :
| Catégorie A | Catégorie B | Total | |
|---|---|---|---|
| Hommes | 10 | 5 | |
| Femmes | 8 | 12 | |
| Total |
Exercice — Interpréter la somme des effectifs
Un tableau croisé indique que 20 élèves aiment les mathématiques et que 15 élèves aiment la physique.
Que représente la somme de ces deux effectifs ?
Exercice — Utiliser un filtre dans un tableur
Dans un tableur, on dispose d'un tableau contenant notamment les colonnes Moyenne et Matière préférée.
On souhaite sélectionner uniquement les élèves qui vérifient simultanément les deux conditions suivantes :
- leur moyenne est strictement supérieure à $12$ ;
- ils aiment les mathématiques.
Quel filtre faut-il utiliser ?
Exercice — Construire un diagramme en barres
On considère deux catégories d'élèves :
- catégorie A : $30$ élèves ;
- catégorie B : $20$ élèves.
Construire un diagramme en barres représentant ces deux catégories.
Exercice — Utiliser le filtre « NON »
Dans un tableur, on souhaite sélectionner uniquement les valeurs qui ne sont pas égales à « A ».
Quel filtre faut-il utiliser ?