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Analyse statistique de caractères quantitatifs

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Cours et Exercices - Statistiques
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1. Vocabulaire statistique

En statistique, on étudie un ensemble d’individus pour analyser une propriété appelée caractère.

  • Population : ensemble des individus étudiés.
  • Individu : élément de la population.
  • Effectif total : nombre total d’individus.
  • Caractère : propriété étudiée (taille, note, âge…).

Types de caractères

  • Quantitatif : mesurable avec des nombres.
    • discret : valeurs isolées (ex : notes, nombre d’enfants).
    • continu : valeurs possibles dans un intervalle (ex : taille, durée).
  • Qualitatif : non numérique (ex : profession, marque de voiture).
Exemple :
Les 17 élèves d'une classe sont séparés en deux groupes :
  • Notes du groupe A : 4 ; 4 ; 9 ; 9 ; 9 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17
  • Notes du groupe B : 6 ; 6 ; 8 ; 8 ; 10 ; 10 ; 12 ; 12
Population : les 17 élèves d’une classe.
Caractère : la note au devoir (quantitatif discret).
Effectif total : 17.

2. Fréquences

La fréquence d’une valeur est la proportion d’individus qui possèdent cette valeur.

Méthode :
\[ f = \frac{\text{effectif de la valeur}}{\text{effectif total}} \] On peut l’exprimer en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
Attention : Les fréquences cumulées doivent toujours se terminer à 100% (ou 1).

Exercice d'application : Voici les notes sur 10 d'une classe de première :
0 – 1 – 1 – 2 – 2 – 2 – 2 – 3 – 3 – 4 – 5 – 5 – 7 – 7 – 7 – 8 – 8 – 10 – 10 – 10.

Note0123457810
Effectifs124212323
Effectifs cumulés13791012151720
Fréquences (%)5%10%20%10%5%10%15%10%15%
Fréquences cumulées (%)5%15%35%45%50%60%75%85%100%

Explication du calcul :

  • Effectif total = 20.
  • Pour la note 2 : effectif = 4, donc Fréquence = $\frac{4}{20} = 0{,}20 = 20\%$.
  • Effectif cumulé pour la note 2 = $1 + 2 + 4 = 7$.

3. Moyenne

La moyenne est une mesure de tendance centrale qui résume une série statistique.

Moyenne simple : \[ \overline{x} = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \]
Moyenne pondérée : \[ \overline{x} = \frac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{N} \]
Propriétés :
  • Si les valeurs sont multipliées par $a$, la moyenne est multipliée par $a$.
  • Moyenne de deux groupes : $\overline{x} = \dfrac{N_A \overline{x_A} + N_B \overline{x_B}}{N}$.

Groupe A : $\overline{x_A} = \frac{2 \times 4 + 3 \times 9 + 2 \times 15 + 2 \times 17}{9} = 11$

Groupe B : $\overline{x_B} = \frac{2 \times 6 + 2 \times 8 + 2 \times 10 + 2 \times 12}{8} = 9$

Moyenne globale de la classe :
$\overline{x} = \frac{9 \times 11 + 8 \times 9}{17} = \frac{99 + 72}{17} = \frac{171}{17} \approx 10{,}06$

4. Médiane

La médiane $M$ partage la série ordonnée en deux sous-groupes de même effectif.

Détermination de la médiane :
  • On classe les valeurs dans l’ordre croissant.
  • Effectif impair ($N = 2p+1$) : la médiane est la valeur centrale d'rang $p+1$.
  • Effectif pair ($N = 2p$) : la médiane est la demi-somme des valeurs de rang $p$ et $p+1$.
  • Série 1 (impair) : 1 ; 5 ; 7 ; 10 ; 11 ; 50 ; 55 $\longrightarrow M = 10$.
  • Série 2 (pair) : 10 ; 20 ; 30 ; 35 ; 37 ; 40 ; 50 ; 60 $\longrightarrow M = \frac{35+37}{2} = 36$.

5. Quartiles et écart interquartile

Méthode :
  • Premier quartile ($Q_1$) : plus petite valeur telle qu'au moins 25% des données lui soient inférieures ou égales.
  • Troisième quartile ($Q_3$) : plus petite valeur telle qu'au moins 75% des données lui soient inférieures ou égales.
  • Écart interquartile : $Q_3 - Q_1$ (mesure la dispersion).

Groupe A : 4 ; 4 ; 9 ; 9 ; 9 ; 15 ; 15 ; 17 ; 17
$Q_1 = \frac{4+9}{2} = 6{,}5$ ; $Q_3 = \frac{15+17}{2} = 16$ ; Écart interquartile = $16 - 6{,}5 = 9{,}5$.

Groupe B : 6 ; 6 ; 8 ; 8 | 10 ; 10 ; 12 ; 12
$Q_1 = \frac{6+8}{2} = 7$ ; $Q_3 = \frac{10+12}{2} = 11$ ; Écart interquartile = $11 - 7 = 4$.

6. Diagramme en boîte

Le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches) résume la série grâce à 5 valeurs clés : $\text{Min}$, $Q_1$, $M$, $Q_3$, $\text{Max}$.

  • 25% des valeurs sont comprises entre $\text{Min}$ et $Q_1$.
  • 25% des valeurs sont comprises entre $Q_1$ et $M$.
  • 25% des valeurs sont comprises entre $M$ et $Q_3$.
  • 25% des valeurs sont comprises entre $Q_3$ et $\text{Max}$.

Groupe A : $\text{Min} = 4$ ; $Q_1 = 6{,}5$ ; $M = 9$ ; $Q_3 = 16$ ; $\text{Max} = 17$

Groupe B : $\text{Min} = 6$ ; $Q_1 = 7$ ; $M = 9$ ; $Q_3 = 11$ ; $\text{Max} = 12$

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Groupe A 4 6,5 9 16 17 Groupe B 6 7 9 11 12

7. Exercices d'application : Évolutions du SMIC

On donne le SMIC horaire brut de 2001 à 2011 :

AnnéeSMIC (€)
20119,40
20109,00
20098,82
20088,63
20078,44
20068,27
20058,03
20047,61
20037,19
20026,83
20016,67

1. Quelle est la médiane de cette série ?

2. Paul remarque qu'entre 2001 et 2002, l'augmentation est de 16 centimes, tandis qu'entre 2007 et 2008, elle est de 19 centimes. Il affirme que le pourcentage d'augmentation est plus fort entre 2007 et 2008. A-t-il raison ?

1. Médiane : Il y a 11 années (effectif impair). La médiane est la 6e valeur ordonnée : 8,27 € (année 2006).

2. Pourcentages d'augmentation :

  • Entre 2001 et 2002 : $\frac{6{,}83 - 6{,}67}{6{,}67} = \frac{0{,}16}{6{,}67} \approx 2{,}40\%$
  • Entre 2007 et 2008 : $\frac{8{,}63 - 8{,}44}{8{,}44} = \frac{0{,}19}{8{,}44} \approx 2{,}25\%$
Paul a tort : bien que la hausse absolue soit plus élevée en 2007-2008, l'augmentation en pourcentage est plus forte entre 2001 et 2002.

Exercices Corrigés

Calculer la moyenne de la série : 4, 7, 9, 10, 12.
Déterminer la médiane de la série : 3, 5, 8, 12, 14.
Trouver $Q_1$ et $Q_3$ de la série ordonnée : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13.
Construire la boîte à moustaches de la série : 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13.
Calculer la variance de la série : 2, 4, 6.
Calculer l’écart-type de la série précédente.
Une série a un écart-type de 0. Que signifie cela ?
Déterminer la médiane de la série : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Une série : 10, 10, 10, 10. Quel est l’écart-type ?
Pourquoi utilise-t-on les quartiles ?

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