TERMINALE SPÉ
Les suites
Suites arithmétiques et géométriques, limites, suites récurrentes et raisonnement par récurrence.
NOTION
Suite arithmétique
Une suite $(u_n)$ est arithmétique s’il existe un réel $r$ tel que, pour tout entier $n$ :
$u_{n+1}=u_n+r$
Le réel $r$ est la raison. On en déduit le terme général :
$u_n=u_0+nr$
💡 Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés : essayez-le à la diapo suivante.
ANIMATION
Faites varier $u_0$ et $r$
Déplacez les curseurs, ou cliquez sur « Animer » pour voir les points se construire.
MÉTHODE
Somme de termes consécutifs
$u_0+u_1+\cdots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}$
Nombre de termes $\times$ moyenne du premier et du dernier terme.
Exemple : calculer $5+8+11+\cdots+35$. C’est une suite arithmétique de raison $r=3$ et de premier terme $5$.
Nombre de termes : $35=5+3n\iff n=10$, donc il y a 11 termes.
$S=11\times\dfrac{5+35}{2}=220$
NOTION
Suite géométrique
Une suite $(u_n)$ est géométrique s’il existe un réel $q$ tel que :
$u_{n+1}=q\,u_n$
$u_n=u_0\,q^n$
💡 Augmenter de $5\,\%$ chaque année, c’est multiplier par $q=1{,}05$.
$1+q+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\neq1)$
ANIMATION
Le comportement de $q^n$
Faites varier $q$ : que devient la suite quand $n$ grandit ?
À RETENIR
Limite de $q^n$
$q>1$$\lim q^n=+\infty$
$-1$\lim q^n=0$
$q=1$suite constante égale à $1$
$q\le-1$pas de limite
MÉTHODE
Sens de variation
1. Étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ : positif pour une suite croissante, négatif pour une suite décroissante.
2. Si $u_n>0$, comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
3. Si $u_n=f(n)$ avec $f$ monotone sur $[0\,;+\infty[$, alors $(u_n)$ varie comme $f$.
⚠️ Cette 3e méthode ne marche pas pour $u_{n+1}=f(u_n)$ : pour ces suites, on utilise souvent une récurrence.
THÉORÈMES
Convergence et comparaison
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge (idem décroissante et minorée).
Divergence : une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
Comparaison : si $u_n\ge v_n$ et $\lim v_n=+\infty$, alors $\lim u_n=+\infty$.
Gendarmes : si $v_n\le u_n\le w_n$ et $v_n,w_n\to\ell$, alors $u_n\to\ell$.
⚠️ « Croissante et majorée par $5$ » prouve que la suite converge, pas qu’elle converge vers $5$.
ANIMATION
Suite récurrente $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$
On « rebondit » entre la courbe de $f(x)=\sqrt{2+x}$ et la droite $y=x$ pour construire les termes.
RAISONNEMENT
Le principe de récurrence
Initialisation : $P(0)$ est vraie.
Hérédité : pour tout $n$, si $P(n)$ est vraie alors $P(n+1)$ est vraie.
Conclusion : $P(n)$ est vraie pour tout entier $n$.
EXEMPLE
Une démonstration par récurrence
Soit $u_0=0$ et $u_{n+1}=2u_n+1$. Montrons que $P(n)$ : « $u_n=2^n-1$ » est vraie pour tout $n$.
Initialisation : $u_0=0$ et $2^0-1=0$. Donc $P(0)$ est vraie.
Hérédité : on suppose $u_n=2^n-1$ pour un entier $n$ fixé. Alors
$u_{n+1}=2u_n+1=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1$.
$u_{n+1}=2u_n+1=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1$.
Conclusion : $P(0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $u_n=2^n-1$ pour tout $n$.
⚠️ Dans l’hérédité, on suppose $P(n)$ vraie pour un $n$ fixé, jamais pour tous les $n$.
QUESTION FLASH
Nature d’une suite
On donne $u_0=7$ et $u_{n+1}=u_n-4$. Que peut-on dire de $(u_n)$ ?
$u_{n+1}-u_n=-4$ est constant : la suite est arithmétique de raison $r=-4$ (donc décroissante).
QUESTION FLASH
Limite d’une suite géométrique
Quelle est la limite de $u_n=3\times(0{,}8)^n$ ?
Comme $-1<0{,}8<1$, on a $\lim (0{,}8)^n=0$, donc $\lim u_n=3\times0=0$.
QUESTION FLASH
Convergence monotone
Une suite $(u_n)$ est croissante et majorée par $5$. Que peut-on affirmer ?
Le théorème de convergence monotone assure la convergence vers une limite $\ell$, et $\ell\le5$. Mais $\ell$ n’est pas forcément égale à $5$.
DÉFI
Retrouver $u_0$
Une suite arithmétique vérifie $u_3=14$ et $r=5$. Quelle est la valeur de $u_0$ ?
💡 Utilisez $u_3=u_0+3r$.
$u_0=u_3-3r=14-15=-1$.
DÉFI
Un terme géométrique
Une suite géométrique vérifie $u_0=2$ et $q=3$. Calculer $u_4$.
💡 Utilisez $u_n=u_0\,q^n$ avec $n=4$.
$u_4=2\times3^4=2\times81=162$.
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Chapitre terminé
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