SECONDE

Statistiques et probabilités

Indicateurs d’une série, probabilités, événements, fréquences et fluctuation d’échantillonnage.

RAPPELS

Moyenne, médiane, quartiles

Moyenne : $\bar x=\dfrac{\text{somme des valeurs}}N$. Médiane : valeur qui partage la série (rangée) en deux moitiés.

Quartiles $Q_1$ et $Q_3$ : rangs $\lceil N/4\rceil$ et $\lceil3N/4\rceil$. Étendue : max $-$ min. Écart interquartile : $Q_3-Q_1$.

$3\,;5\,;8\,;9\,;12$ : $\bar x=7{,}4$, médiane $8$, $Q_1=5$, $Q_3=9$.

ANIMATION

Moyenne ou médiane ?

Une série de $15$ notes dont la dernière $x$ est modifiable : que deviennent la moyenne et la médiane ?

À RETENIR

Choisir un indicateur

La moyenne utilise toutes les valeurs : sensible aux valeurs extrêmes.

La médiane et les quartiles ne dépendent que du rang : robustes.

💡 Pour décrire la dispersion : écart interquartile (robuste) ou écart type (utilise toutes les valeurs).

NOTION

Probabilité et équiprobabilité

Une expérience aléatoire a des issues connues, mais on ne peut pas prévoir laquelle se produira.

Si les issues sont équiprobables : $P(A)=\dfrac{\text{nombre d’issues favorables}}{\text{nombre d’issues}}$.

Dé équilibré : $P(\text{pair})=\dfrac36=\dfrac12$.

💡 $0\le P(A)\le1$ et $P(\overline A)=1-P(A)$.

FORMULE

Réunion et intersection

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Dé : $A=\{2,4,6\}$ (pair), $B=\{4,5,6\}$ ($\ge4$). $A\cap B=\{4,6\}$.

$P(A\cup B)=\dfrac36+\dfrac36-\dfrac26=\dfrac46=\dfrac23$ (issues $2,4,5,6$).

SIMULATION

Fréquence et probabilité

Lancez le dé de plus en plus de fois : la fréquence de « 6 » se stabilise autour de $\frac16$.

ÉCHANTILLONNAGE

Fluctuation d’échantillonnage

Sur $n$ répétitions, la fréquence observée $f$ fluctue autour de la probabilité $p$, d’un échantillon à l’autre.

$f\in\left[p-\dfrac1{\sqrt n}\ ;\ p+\dfrac1{\sqrt n}\right]$ avec une probabilité d’environ $95\,\%$

Pièce équilibrée : $p=0{,}5$, $n=100$ : $I=[0{,}4\ ;0{,}6]$. $58$ piles ($f=0{,}58\in I$) : normal. $70$ piles ($f=0{,}70\notin I$) : suspect.

⚠️ Valable pour $n\ge25$ et $0{,}2\le p\le0{,}8$.

QUESTION FLASH

Une probabilité

On lance un dé équilibré. Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ?

Issues favorables : $5$ et $6$, soit $2$ sur $6$ : $\dfrac13$.

QUESTION FLASH

Événement contraire

$P(A)=0{,}35$. Que vaut $P(\overline A)$ ?

$P(\overline A)=1-P(A)=1-0{,}35=0{,}65$.

QUESTION FLASH

Intervalle de fluctuation

Pour $p=0{,}5$ et $n=100$, quel est l’intervalle de fluctuation à $95\,\%$ ?

$\dfrac1{\sqrt{100}}=0{,}1$ donc $[0{,}5-0{,}1\ ;0{,}5+0{,}1]=[0{,}4\ ;0{,}6]$.

DÉFI

Calculer $P(A\cup B)$

$P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}3$ et $P(A\cap B)=0{,}1$. Calculer $P(A\cup B)$ (écrire un décimal).

💡 $P(A)+P(B)-P(A\cap B)$.

$0{,}5+0{,}3-0{,}1=0{,}7$.

DÉFI

Borne de l’intervalle

Pour $p=0{,}5$ et $n=100$, quelle est la borne inférieure de l’intervalle de fluctuation $\left[p-\dfrac1{\sqrt n}\ ;\ p+\dfrac1{\sqrt n}\right]$ ?

💡 $p-\dfrac1{\sqrt{100}}$.

$0{,}5-0{,}1=0{,}4$.

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Chapitre terminé

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