SECONDE
Pythagore et trigonométrie
Théorème de Pythagore et sa réciproque, cosinus, sinus et tangente dans un triangle rectangle.
THÉORÈME
Pythagore et sa réciproque
Si $ABC$ est rectangle en $B$, alors $AC^2=AB^2+BC^2$ ($AC$ : l’hypoténuse).
Réciproque : si $AC^2=AB^2+BC^2$, alors $ABC$ est rectangle en $B$.
$5\,;12\,;13$ : $5^2+12^2=25+144=169=13^2$ : le triangle est rectangle.
⚠️ Pour la réciproque, on compare le carré du plus grand côté à la somme des carrés des deux autres.
EXEMPLE
Calculer une longueur
Triangle rectangle de côtés de l’angle droit $6$ et $8$. Hypoténuse : $h^2=36+64=100$, donc $h=10$.
Hypoténuse $13$ et un côté $5$ : l’autre côté $c$ vérifie $c^2=169-25=144$, donc $c=12$.
ANIMATION
Un triangle rectangle
Faites varier l’angle $\alpha$ et l’hypoténuse : suivez les côtés, le cosinus, le sinus et la tangente.
DÉFINITIONS
Cosinus, sinus, tangente
Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu $\alpha$ :
$\cos\alpha=\dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}\quad\sin\alpha=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\quad\tan\alpha=\dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$
💡 Moyen mnémotechnique : CAH – SOH – TOA (Cosinus = Adjacent / Hypoténuse…).
À RETENIR
Valeurs remarquables et relations
$\alpha=30^\circ:\ \cos=\dfrac{\sqrt3}2,\ \sin=\dfrac12,\ \tan=\dfrac{\sqrt3}3$
$\alpha=45^\circ:\ \cos=\sin=\dfrac{\sqrt2}2,\ \tan=1$
$\alpha=60^\circ:\ \cos=\dfrac12,\ \sin=\dfrac{\sqrt3}2,\ \tan=\sqrt3$
$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\qquad\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
MÉTHODE
Calculer un angle ou une longueur
Longueur : hypoténuse $10$, $\alpha=30^\circ$ : côté opposé $=10\sin30^\circ=5$.
Angle : côté opposé $3$, hypoténuse $5$ : $\sin\alpha=0{,}6$, donc $\alpha=\sin^{-1}(0{,}6)\approx36{,}9^\circ$ (touche Arcsin).
Hauteur d’un arbre : ombre $12$ m, soleil à $40^\circ$ : $\tan40^\circ=\dfrac h{12}$, donc $h=12\tan40^\circ\approx10{,}1$ m.
⚠️ Calculatrice en mode degrés !
QUESTION FLASH
La réciproque de Pythagore
Un triangle a pour côtés $6$, $8$ et $10$. Est-il rectangle ?
$6^2+8^2=36+64=100=10^2$ : par la réciproque de Pythagore, il est rectangle (l’angle droit est opposé au côté $10$).
QUESTION FLASH
Choisir le bon rapport
Dans un triangle rectangle, on connaît l’hypoténuse et le côté adjacent à l’angle $\alpha$. Quel rapport utiliser ?
$\cos\alpha=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$ : ce sont les deux côtés concernés.
QUESTION FLASH
Valeur remarquable
Que vaut $\tan45^\circ$ ?
À $45^\circ$, $\cos=\sin$ donc $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=1$.
DÉFI
Une hypoténuse
Les côtés de l’angle droit mesurent $6$ et $8$. Quelle est la longueur de l’hypoténuse ?
💡 $h^2=6^2+8^2$.
$h=\sqrt{36+64}=10$.
DÉFI
Un côté opposé
Dans un triangle rectangle d’hypoténuse $12$, un angle mesure $30^\circ$. Quelle est la longueur du côté opposé à cet angle ?
💡 $\sin30^\circ=\dfrac12$.
côté opposé $=12\times\sin30^\circ=12\times\dfrac12=6$.
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