SECONDE

Nombres et calculs

Ensembles de nombres, intervalles, valeur absolue, puissances, racines carrées et calcul littéral.

NOTION

Les ensembles de nombres

$\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R$

$\mathbb N$ : entiers naturels. $\mathbb Z$ : entiers relatifs. $\mathbb D$ : décimaux (fin d’écriture décimale). $\mathbb Q$ : rationnels $\dfrac ab$. $\mathbb R$ : tous les réels.

$0{,}25\in\mathbb D$ ; $\dfrac13\in\mathbb Q$ mais $\dfrac13\notin\mathbb D$ ; $\sqrt2$ et $\pi$ sont irrationnels : dans $\mathbb R$ mais pas dans $\mathbb Q$.

NOTION

Les intervalles

$a\le x\le b\iff x\in[a\,;b]\qquad a

Le crochet est fermé si la borne est incluse, ouvert si elle est exclue. L’infini est toujours exclu : $[2\,;+\infty[$.

$x<-1\iff x\in]-\infty\,;-1[$ ; $x\ge2\iff x\in[2\,;+\infty[$.

ANIMATION

Intersection et réunion d’intervalles

$I=[a\,;b]$ (bleu) et $J=]c\,;d[$ (jaune) : déplacez les bornes.

MÉTHODE

Intersection et réunion

$I\cap J$ : les réels qui sont dans $I$ et dans $J$. $I\cup J$ : ceux qui sont dans $I$ ou dans $J$.

$[-2\,;3]\cap]1\,;5[=]1\,;3]$ et $[-2\,;3]\cup]1\,;5[=[-2\,;5[$.

💡 Soyez attentif aux crochets : une borne n’est dans l’intersection que si elle est dans les deux intervalles.

NOTION

Valeur absolue et distance

$|x-a|$ est la distance entre $x$ et $a$ sur la droite réelle.

$|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r\iff x\in[a-r\,;a+r]$

$|x-3|\le2\iff x\in[1\,;5]$ : les réels à distance au plus $2$ de $3$.

RÈGLES

Puissances et racines carrées

$a^m\times a^n=a^{m+n}\quad\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}\quad(a^m)^n=a^{mn}\quad a^{-n}=\dfrac1{a^n}$

$\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\quad\sqrt{\dfrac ab}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\quad(\sqrt a)^2=a$

$\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt3$. ⚠️ $\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b$.

CALCUL LITTÉRAL

Identités remarquables

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\qquad(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Développer : $(x+4)^2=x^2+8x+16$. Factoriser : $9x^2-16=(3x)^2-4^2=(3x-4)(3x+4)$.

RAPPELS

Calculs avec des fractions

$\dfrac ab+\dfrac cb=\dfrac{a+c}b\qquad\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}\qquad\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc$

$\dfrac23+\dfrac56=\dfrac46+\dfrac56=\dfrac96=\dfrac32$.

QUESTION FLASH

À quel ensemble appartient $\sqrt2$ ?

Quelle affirmation est vraie pour le nombre $\sqrt2$ ?

$\sqrt2$ est irrationnel : il appartient à $\mathbb R$ mais pas à $\mathbb Q$ (donc ni décimal, ni entier).

QUESTION FLASH

Intersection

Quel est l’intervalle $[-2\,;3]\cap]1\,;5[$ ?

$1$ est exclu de $]1\,;5[$ ; $3$ est inclus dans les deux intervalles : $]1\,;3]$.

QUESTION FLASH

Valeur absolue

Pour quels réels $x$ a-t-on $|x-2|<3$ ?

$|x-2|<3\iff2-3

DÉFI

Simplifier une racine

On écrit $\sqrt{12}=k\sqrt3$. Que vaut $k$ ?

💡 $12=4\times3$ et $\sqrt4=2$.

$\sqrt{12}=\sqrt4\times\sqrt3=2\sqrt3$ : $k=2$.

DÉFI

Développer

$(x+4)^2=x^2+bx+16$. Que vaut $b$ ?

💡 Le double produit : $2\times x\times4$.

$(x+4)^2=x^2+2\times4\,x+16=x^2+8x+16$ : $b=8$.

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