SECONDE
Géométrie repérée
Coordonnées, distance, milieu, vecteurs, parallélogramme et nature d’un triangle.
NOTION
Repère, distance et milieu
Dans un repère orthonormé, un point a deux coordonnées : $A(x_A\,;y_A)$.
$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
$I\left(\dfrac{x_A+x_B}2\ ;\ \dfrac{y_A+y_B}2\right)$ milieu de $[AB]$
$A(1\,;2)$, $B(4\,;6)$ : $AB=\sqrt{9+16}=5$ ; milieu $I(2{,}5\ ;4)$.
ANIMATION
Distance, milieu et vecteur
Déplacez $A$ et $B$ : la distance, le milieu et le vecteur $\overrightarrow{AB}$ se mettent à jour.
NOTION
Vecteurs
$\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$
Deux vecteurs sont égaux s’ils ont les mêmes coordonnées (même direction, même sens, même longueur).
$\overrightarrow{AB}(3\,;4)$ : le translaté de $C(5\,;1)$ est $D(5+3\ ;1+4)=D(8\,;5)$ avec $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}$.
THÉORÈME
Parallélogramme
$ABCD$ est un parallélogramme $\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff$ les diagonales $[AC]$ et $[BD]$ ont le même milieu.
Exemple : $A(0\,;0)$, $B(3\,;1)$, $C(4\,;4)$. Pour que $ABCD$ soit un parallélogramme : $D=A+C-B=(1\,;3)$.
✅ Milieu de $[AC]$ : $(2\,;2)$. Milieu de $[BD]$ : $\left(\dfrac{3+1}2\,;\dfrac{1+3}2\right)=(2\,;2)$ ✓.
ANIMATION
Compléter un parallélogramme
Déplacez $A$, $B$, $C$ : le point $D$ est placé pour que $ABCD$ soit un parallélogramme.
MÉTHODE
Nature d’un triangle
On calcule les trois longueurs. Isocèle : deux côtés égaux. Équilatéral : trois côtés égaux.
$A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(2\,;3)$ : $AB=4$, $AC=BC=\sqrt{13}$ : isocèle en $C$.
Rectangle : réciproque de Pythagore. $A(0\,;0)$, $B(3\,;0)$, $C(3\,;4)$ : $AB^2+BC^2=9+16=25=AC^2$ : rectangle en $B$.
QUESTION FLASH
Milieu
Quel est le milieu de $[AB]$ avec $A(-2\,;3)$ et $B(4\,;7)$ ?
$\left(\dfrac{-2+4}2\,;\dfrac{3+7}2\right)=(1\,;5)$.
QUESTION FLASH
Parallélogramme
$A(0\,;0)$, $B(3\,;1)$, $C(4\,;4)$. Quel point $D$ rend $ABCD$ parallélogramme ?
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ donne $D=A+C-B=(0+4-3\,;0+4-1)=(1\,;3)$.
QUESTION FLASH
Une distance
Quelle est la distance $AB$ pour $A(1\,;1)$ et $B(4\,;5)$ ?
$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$.
DÉFI
Calculer une distance
Calculer $AB$ pour $A(-1\,;2)$ et $B(5\,;10)$.
💡 $\sqrt{6^2+8^2}$.
$AB=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$.
DÉFI
Le quatrième sommet
$A(1\,;1)$, $B(4\,;2)$, $C(5\,;5)$. $ABCD$ est un parallélogramme : quelle est l’ordonnée de $D$ ?
💡 $y_D=y_A+y_C-y_B$.
$D=A+C-B=(1+5-4\,;1+5-2)=(2\,;4)$ : ordonnée $4$.
✓
Chapitre terminé
Vous avez revu les coordonnées, la distance, le milieu, les vecteurs, le parallélogramme et la nature d’un triangle.
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