SECONDE
Les fonctions affines
Coefficient directeur, sens de variation, signe de mx + p, inéquations et problèmes de tarifs.
NOTION
Une fonction affine
Une fonction $f$ est affine s’il existe deux réels $m$ et $p$ tels que, pour tout réel $x$ :
$f(x)=mx+p$
$m$ est le coefficient directeur (la pente) et $p$ l’ordonnée à l’origine : $f(0)=p$.
💡 Sa représentation graphique est une droite. Si $p=0$, $f$ est linéaire ; si $m=0$, $f$ est constante.
ANIMATION
Faites varier $m$ et $p$
Déplacez les curseurs : que change $m$ ? que change $p$ ?
MÉTHODE
Déterminer une fonction affine
Connaissant deux points $A(x_A\,;y_A)$ et $B(x_B\,;y_B)$ de la droite :
$m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$
Exemple : $A(1\,;3)$ et $B(3\,;7)$. $m=\dfrac{7-3}{3-1}=2$.
Puis $f(1)=3$ donne $2\times1+p=3$, donc $p=1$ : $f(x)=2x+1$.
À RETENIR
Sens de variation
Si $m>0$, $f$ est strictement croissante : la droite « monte ».
Si $m<0$, $f$ est strictement décroissante : la droite « descend ».
Si $m=0$, $f$ est constante.
💡 Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $m$ (ou diminue si $m<0$).
MÉTHODE
Signe de $mx+p$
Si $m\neq0$, $mx+p$ s’annule en un seul réel : $x=-\dfrac pm$.
Si $m>0$ : négatif avant cette valeur, positif après. Si $m<0$ : c’est l’inverse.
Exemple : $f(x)=2x-6$. $2x-6=0\iff x=3$, et $m=2>0$ : $f(x)<0$ si $x<3$, $f(x)>0$ si $x>3$.
MÉTHODE
Résoudre une inéquation
$-3x+9\ge0\iff-3x\ge-9\iff x\le3$
⚠️ On divise par $-3$ (négatif) : l’inégalité change de sens.
$5-2x<1\iff-2x<-4\iff x>2$
APPLICATION
Points alignés
Trois points $A$, $B$, $C$ sont alignés si les droites $(AB)$ et $(AC)$ ont le même coefficient directeur.
Exemple : $A(0\,;1)$, $B(2\,;5)$, $C(3\,;7)$. Pente de $(AB)$ : $\dfrac{5-1}{2-0}=2$. Pente de $(AC)$ : $\dfrac{7-1}{3-0}=2$.
✅ Les pentes sont égales : $A$, $B$, $C$ sont alignés.
MODÉLISATION
Comparer deux tarifs
Une salle de sport propose : tarif A : $5$ € la séance ; tarif B : abonnement de $15$ € + $2$ € la séance.
Pour $x$ séances : $f(x)=5x$ et $g(x)=2x+15$ (deux fonctions affines).
$5x<2x+15\iff3x<15\iff x<5$.
✅ Moins de $5$ séances : le tarif A est meilleur. À $5$ séances : égalité. Au-delà : le tarif B est meilleur.
QUESTION FLASH
Lire le coefficient directeur
Quel est le coefficient directeur de $f(x)=-3x+5$ ?
Dans $f(x)=mx+p$, $m$ est le nombre qui multiplie $x$ : ici $m=-3$. Le nombre $5$ est l’ordonnée à l’origine.
QUESTION FLASH
Équation d’une droite
Une droite passe par $(0\,;2)$ et $(2\,;8)$. Quelle est l’expression de la fonction affine associée ?
$p=f(0)=2$ et $m=\dfrac{8-2}{2-0}=3$ : $f(x)=3x+2$.
QUESTION FLASH
Une inéquation
Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $-2x+4\ge0$ ?
$-2x+4\ge0\iff-2x\ge-4\iff x\le2$ : on divise par $-2$, l’inégalité change de sens.
DÉFI
Un coefficient directeur
Calculer le coefficient directeur de la droite passant par $A(-1\,;4)$ et $B(2\,;-2)$.
💡 $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$.
$m=\dfrac{-2-4}{2-(-1)}=\dfrac{-6}{3}=-2$.
DÉFI
Retrouver $f(0)$
$f$ est affine avec $f(1)=5$ et $f(3)=11$. Calculer $f(0)$.
💡 Calculez d’abord $m=\dfrac{11-5}{3-1}$, puis $p$ avec $f(1)=5$.
$m=\dfrac{11-5}{2}=3$, puis $3\times1+p=5$ donne $p=2$. Donc $f(0)=p=2$.
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