SECONDE
Fonctions carré et inverse
Variations, courbes, symétries, comparaisons, équations et inéquations.
NOTION
La fonction carré
$f(x)=x^2$ est définie sur $\mathbb R$. Sa courbe est une parabole de sommet $O$.
Décroissante sur $]-\infty\,;0]$, croissante sur $[0\,;+\infty[$, de minimum $0$ en $x=0$.
💡 La fonction est paire : $(-x)^2=x^2$, la courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
NOTION
La fonction inverse
$g(x)=\dfrac1x$ est définie sur $\mathbb R^*$ (pas de valeur en $0$). Sa courbe est une hyperbole.
Décroissante sur $]-\infty\,;0[$ et sur $]0\,;+\infty[$ (mais pas sur $\mathbb R^*$ en entier).
💡 La fonction est impaire : $\dfrac1{-x}=-\dfrac1x$, la courbe est symétrique par rapport à l’origine.
ANIMATION
Carré et inverse : courbes et équations
Choisissez la fonction, déplacez le point, puis la droite $y=a$ : combien de solutions pour $f(x)=a$ ?
MÉTHODE
Comparer des images
On utilise le sens de variation sur un intervalle où il est constant.
$2<3$ et le carré est croissant sur $[0\,;+\infty[$ : $2^2<3^2$. Mais $-3<-2$ et il est décroissant sur $]-\infty\,;0]$ : $(-3)^2>(-2)^2$.
$0<3<5$ et l’inverse est décroissant sur $]0\,;+\infty[$ : $\dfrac13>\dfrac15$.
⚠️ $-2<3$ mais $\dfrac1{-2}<\dfrac13$ : on ne peut pas utiliser la décroissance à cheval sur $0$.
MÉTHODE
Résoudre $x^2=a$
$a>0$ : deux solutions $x=-\sqrt a$ et $x=\sqrt a$. $a=0$ : une solution $0$. $a<0$ : aucune solution.
$x^2=9\iff x=-3$ ou $x=3$ ; $x^2=-4$ n’a pas de solution.
MÉTHODE
Inéquations avec le carré et l’inverse
$x^2\le9\iff-3\le x\le3\iff x\in[-3\,;3]$.
$x^2>4\iff x<-2$ ou $x>2$ : $x\in]-\infty\,;-2[\cup]2\,;+\infty[$.
$\dfrac1x\ge\dfrac14$ avec $x>0$ : l’inverse est décroissant, donc $x\le4$ : $x\in]0\,;4]$.
QUESTION FLASH
Comparer deux carrés
Quelle comparaison est exacte ?
$(-3)^2=9$ et $(-2)^2=4$ : $9>4$. (Le carré est décroissant sur $]-\infty\,;0]$ et $-3<-2$.)
QUESTION FLASH
Résoudre une équation
Quelles sont les solutions de $x^2=7$ ?
$7>0$ : deux solutions opposées, $-\sqrt7$ et $\sqrt7$.
QUESTION FLASH
Inéquation avec l’inverse
Pour $x>0$, quelles sont les solutions de $\dfrac1x\ge\dfrac14$ ?
L’inverse est décroissant sur $]0\,;+\infty[$ : il renverse l’ordre, donc $x\le4$.
DÉFI
Une solution positive
Quelle est la solution positive de $x^2=49$ ?
💡 $\sqrt{49}$.
$x^2=49\iff x=-7$ ou $x=7$ : la solution positive est $7$.
DÉFI
Résoudre $\frac1x=a$
Résoudre $\dfrac1x=0{,}25$ (écrire un décimal).
💡 $x=\dfrac1{0{,}25}$.
$x=\dfrac1{0{,}25}=4$.
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Chapitre terminé
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