TERMINALE SPÉ

Les probabilités

Probabilités conditionnelles, indépendance, loi binomiale, inégalité de Bienaymé-Tchebychev et loi des grands nombres.

NOTION

Probabilité conditionnelle

Soit $A$ un événement de probabilité non nulle. La probabilité de $B$ sachant $A$ est :

$P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$

$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$

💡 Sur un arbre pondéré, on multiplie les probabilités le long d’un chemin.

ANIMATION

Un arbre pondéré

Modifiez les probabilités des branches, ou cliquez sur « Animer » pour construire l’arbre.

MÉTHODE

Formule des probabilités totales

Si $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l’univers, alors pour tout événement $B$ :

$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)$

$P(B)=P(A)\,P_A(B)+P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)$

💡 Sur l’arbre, on additionne les chemins qui mènent à $B$.

EXEMPLE

Remonter l’arbre

Une machine $M_1$ fabrique $60\,\%$ des pièces, dont $2\,\%$ sont défectueuses. Une machine $M_2$ fabrique $40\,\%$, dont $5\,\%$ sont défectueuses.

Probabilité qu’une pièce soit défectueuse ($D$) :
$P(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}012+0{,}02=0{,}032$

Elle est défectueuse : vient-elle de $M_1$ ?
$P_D(M_1)=\dfrac{P(M_1\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=0{,}375$

💡 On « remonte » l’arbre : c’est la formule de Bayes.

NOTION

Événements indépendants

$A$ et $B$ sont indépendants lorsque :

$P(A\cap B)=P(A)\times P(B)$

Si $P(A)\neq0$, c’est équivalent à $P_A(B)=P(B)$ : savoir que $A$ est réalisé ne change rien à la probabilité de $B$.

⚠️ Indépendants n’est pas incompatibles : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants.

NOTION

Variable aléatoire

Pour une variable aléatoire $X$ prenant les valeurs $x_i$ avec les probabilités $p_i$ :

$E(X)=\sum_{i} p_i\,x_i$

$V(X)=E(X^2)-E(X)^2\qquad\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$

$E(aX+b)=aE(X)+b$ et $V(aX+b)=a^2V(X)$.

NOTION

Loi binomiale

On répète $n$ fois, de façon identique et indépendante, une épreuve de Bernoulli de probabilité de succès $p$. Soit $X$ le nombre de succès : $X\sim\mathcal B(n\,;p)$.

$P(X=k)=\dbinom{n}{k}\,p^k(1-p)^{n-k}$

$E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)$

ANIMATION

Histogramme de $\mathcal B(n\,;p)$

Faites varier $n$ et $p$ : où se place le pic ? Que devient la dispersion ?

THÉORÈME

Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Pour toute variable aléatoire $X$ et tout réel $\delta>0$ :

$P\big(|X-E(X)|\ge\delta\big)\le\dfrac{V(X)}{\delta^2}$

💡 Plus la variance est petite, moins $X$ s’écarte de son espérance.

THÉORÈME

Loi des grands nombres

Soit $X_1,\dots,X_n$ des variables indépendantes de même loi, d’espérance $\mu$ et de variance $V$. On note $M_n=\dfrac{X_1+\cdots+X_n}{n}$.

$P\big(|M_n-\mu|\ge\delta\big)\le\dfrac{V}{n\,\delta^2}$

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}P\big(|M_n-\mu|\ge\delta\big)=0$

SIMULATION

Lancers de dé : la fréquence des « 6 »

Lancez le dé de plus en plus de fois : la fréquence de « 6 » se stabilise autour de $\frac16$.

QUESTION FLASH

Indépendance

On a $P(A)=0{,}5$, $P(B)=0{,}4$ et $P(A\cap B)=0{,}2$. Les événements $A$ et $B$ sont-ils indépendants ?

$P(A)\times P(B)=0{,}5\times0{,}4=0{,}2=P(A\cap B)$ : ils sont indépendants.

QUESTION FLASH

Variance d’une loi binomiale

$X$ suit la loi $\mathcal B(10\,;0{,}3)$. Quelle est la variance $V(X)$ ?

$V(X)=np(1-p)=10\times0{,}3\times0{,}7=2{,}1$. Attention : $3$ est l’espérance.

QUESTION FLASH

Bienaymé-Tchebychev

On a $E(X)=10$ et $V(X)=4$. Quel majorant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne-t-elle pour $P(|X-10|\ge4)$ ?

$\dfrac{V(X)}{\delta^2}=\dfrac{4}{4^2}=\dfrac14=0{,}25$.

DÉFI

Probabilités totales

On donne $P(A)=0{,}4$, $P_A(B)=0{,}5$ et $P_{\overline{A}}(B)=0{,}2$. Calculer $P(B)$.

💡 Additionnez les deux chemins qui mènent à $B$.

$P(B)=0{,}4\times0{,}5+0{,}6\times0{,}2=0{,}2+0{,}12=0{,}32$.

DÉFI

Une probabilité binomiale

$X$ suit la loi $\mathcal B(4\,;0{,}5)$. Calculer $P(X=2)$ (écrire un décimal).

💡 Utilisez $P(X=k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ avec $\binom42=6$.

$P(X=2)=6\times0{,}5^2\times0{,}5^2=\dfrac{6}{16}=0{,}375$.

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