PREMIÈRE SPÉ
Vecteurs et droites
Coordonnées, colinéarité, vecteur directeur, équation cartésienne et équation réduite d’une droite.
NOTION
Vecteurs du plan
$\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\ ;\ y_B-y_A)$
Somme : $(x\,;y)+(x^{\prime}\,;y^{\prime})=(x+x^{\prime}\,;y+y^{\prime})$. Produit par un réel : $k\,(x\,;y)=(kx\,;ky)$.
$\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$
$A(1\,;2)$ et $B(4\,;6)$ : $\overrightarrow{AB}(3\,;4)$ et $AB=\sqrt{9+16}=5$.
ANIMATION
Somme de deux vecteurs
Modifiez les coordonnées de $\vec u$ et $\vec v$ : la somme est la diagonale du parallélogramme.
THÉORÈME
Colinéarité
$\vec u(x\,;y)$ et $\vec v(x^{\prime}\,;y^{\prime})$ sont colinéaires $\iff$ le déterminant est nul :
$\det(\vec u,\vec v)=xy^{\prime}-x^{\prime}y=0$
$\vec u(2\,;3)$ et $\vec v(4\,;6)$ : $2\times6-4\times3=0$ : colinéaires ($\vec v=2\vec u$).
💡 Points alignés : $A,B,C$ alignés $\iff\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ colinéaires. Droites parallèles : vecteurs directeurs colinéaires.
EXEMPLE
Montrer que trois points sont alignés
$A(1\,;1)$, $B(3\,;2)$, $C(7\,;4)$. On calcule $\overrightarrow{AB}(2\,;1)$ et $\overrightarrow{AC}(6\,;3)$.
$\det=2\times3-6\times1=0$.
✅ $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires : $A$, $B$, $C$ sont alignés.
NOTION
Vecteur directeur et équation cartésienne
La droite $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}$ et $\vec u$ sont colinéaires.
$ax+by+c=0\qquad\vec u(-b\ ;\ a)$
Exemple : $A(1\,;2)$, $\vec u(3\,;1)$. $\overrightarrow{AM}(x-1\,;y-2)$ colinéaire à $\vec u$ : $(x-1)\times1-(y-2)\times3=0\iff x-3y+5=0$.
✅ Vérification : $A$ vérifie $1-6+5=0$ et $\vec u(-b\,;a)=(3\,;1)$ avec $a=1$, $b=-3$.
ANIMATION
Une droite $ax+by+c=0$
Faites varier $a$, $b$, $c$ : voyez le vecteur directeur $(-b\,;a)$ et l’équation réduite.
À RETENIR
Équation réduite et parallélisme
Si $b\neq0$ : $y=mx+p$ avec $m=-\dfrac ab$ et $p=-\dfrac cb$. Si $b=0$ : droite verticale $x=-\dfrac ca$.
$2x+y-3=0\iff y=-2x+3$ : pente $-2$, ordonnée à l’origine $3$.
💡 Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur (ou vecteurs directeurs colinéaires).
MÉTHODE
Intersection de deux droites
$d$ : $2x+y=5$ et $d^{\prime}$ : $x-y=1$. Vecteurs directeurs $(-1\,;2)$ et $(1\,;1)$ : $\det=-1\times1-1\times2=-3\neq0$ : sécantes.
On additionne les deux équations : $3x=6$, donc $x=2$, puis $y=1$.
✅ Point d’intersection $I(2\,;1)$. Vérification : $2\times2+1=5$ et $2-1=1$.
QUESTION FLASH
Coordonnées d’un vecteur
Soit $A(2\,;-1)$ et $B(5\,;3)$. Quelles sont les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ ?
$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A\,;y_B-y_A)=(5-2\,;3-(-1))=(3\,;4)$.
QUESTION FLASH
Colinéarité
$\vec u(2\,;-3)$ et $\vec v(-4\,;6)$ sont-ils colinéaires ?
$2\times6-(-4)(-3)=12-12=0$ : colinéaires ($\vec v=-2\vec u$).
QUESTION FLASH
Vecteur directeur
Quel est un vecteur directeur de la droite $3x-2y+5=0$ ?
$a=3$ et $b=-2$ : $\vec u(-b\,;a)=(2\,;3)$. ($(3\,;-2)$ est un vecteur normal.)
DÉFI
Une distance
Calculer la distance $AB$ pour $A(1\,;-2)$ et $B(7\,;6)$.
💡 $\overrightarrow{AB}(6\,;8)$ puis $\sqrt{x^2+y^2}$.
$AB=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$.
DÉFI
Trouver $k$
Pour quelle valeur de $k$ les vecteurs $\vec u(2\,;k)$ et $\vec v(6\,;9)$ sont-ils colinéaires ?
💡 Écrivez $\det=2\times9-6\times k=0$.
$18-6k=0\iff k=3$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu les coordonnées, la colinéarité, le vecteur directeur et les équations de droites.
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