PREMIÈRE SPÉ
La trigonométrie
Radian, cercle trigonométrique, cosinus et sinus, valeurs remarquables, relations et équations.
NOTION
Le radian
Sur un cercle de rayon $1$, un angle de $1$ radian intercepte un arc de longueur $1$.
$180^\circ=\pi\ \text{rad}\qquad 90^\circ=\dfrac\pi2\qquad 60^\circ=\dfrac\pi3\qquad 45^\circ=\dfrac\pi4\qquad 30^\circ=\dfrac\pi6$
💡 Longueur d’un arc de $\theta$ radians sur un cercle de rayon $R$ : $\ell=R\,\theta$.
NOTION
Cosinus et sinus
Sur le cercle trigonométrique (rayon $1$), le point $M$ associé à l’angle $\theta$ a pour coordonnées :
$M(\cos\theta\ ;\ \sin\theta)$
💡 $\cos\theta$ est l’abscisse de $M$, $\sin\theta$ son ordonnée. Donc $-1\le\cos\theta\le1$ et $-1\le\sin\theta\le1$.
ANIMATION
Le cercle trigonométrique
Faites tourner le point $M$ : suivez $\cos\theta$ (horizontal) et $\sin\theta$ (vertical).
À RETENIR
Valeurs remarquables
$\cos0=1\quad\sin0=0$
$\cos\dfrac\pi6=\dfrac{\sqrt3}2\quad\sin\dfrac\pi6=\dfrac12$
$\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2$
$\cos\dfrac\pi3=\dfrac12\quad\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2$
$\cos\dfrac\pi2=0\quad\sin\dfrac\pi2=1$
RELATIONS
Relations entre angles
$\cos^2x+\sin^2x=1$
$\cos(-x)=\cos x\qquad\sin(-x)=-\sin x$
$\cos(\pi-x)=-\cos x\qquad\sin(\pi-x)=\sin x$
$\cos\left(\dfrac\pi2-x\right)=\sin x\qquad\sin\left(\dfrac\pi2-x\right)=\cos x$
Exemple : $\sin x=\dfrac35$ et $x\in\left[0\,;\dfrac\pi2\right]$ : $\cos^2x=1-\dfrac9{25}=\dfrac{16}{25}$, donc $\cos x=\dfrac45$.
NOTION
Périodicité et mesure principale
Les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\pi$ : $\cos(x+2\pi)=\cos x$, $\sin(x+2\pi)=\sin x$.
La mesure principale d’un angle est sa mesure dans $]-\pi\,;\pi]$.
$\dfrac{7\pi}3=\dfrac\pi3+2\pi$ : mesure principale $\dfrac\pi3$.
MÉTHODE
Résoudre $\cos x=a$ ou $\sin x=a$
On lit sur le cercle : deux points ont le même cosinus (symétriques par rapport à l’axe des abscisses), deux ont le même sinus.
$\cos x=\dfrac12$ sur $[0\,;2\pi]$ : $x=\dfrac\pi3$ ou $x=\dfrac{5\pi}3$.
$\sin x=\dfrac12$ sur $[0\,;2\pi]$ : $x=\dfrac\pi6$ ou $x=\dfrac{5\pi}6$.
QUESTION FLASH
Une valeur remarquable
Que vaut $\cos\dfrac{2\pi}3$ ?
$\dfrac{2\pi}3=\pi-\dfrac\pi3$ donc $\cos\dfrac{2\pi}3=-\cos\dfrac\pi3=-\dfrac12$.
QUESTION FLASH
Mesure principale
Quelle est la mesure principale de $\dfrac{7\pi}3$ ?
$\dfrac{7\pi}3-2\pi=\dfrac\pi3\in]-\pi\,;\pi]$.
DÉFI
Longueur d’un arc
Un arc de cercle de rayon $6$ intercepte un angle de $90^\circ$. Sa longueur vaut $k\pi$ : que vaut $k$ ?
💡 $90^\circ=\dfrac\pi2$ et $\ell=R\theta$.
$\ell=6\times\dfrac\pi2=3\pi$ : $k=3$.
DÉFI
Retrouver un cosinus
$\sin x=0{,}8$ et $x\in\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$. Que vaut $\cos x$ ?
💡 $\cos^2x=1-\sin^2x$ ; dans $\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ le cosinus est négatif.
$\cos^2x=1-0{,}64=0{,}36$, donc $\cos x=\pm0{,}6$, et comme $x\in\left[\dfrac\pi2\,;\pi\right]$ : $\cos x=-0{,}6$.
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Chapitre terminé
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