PREMIÈRE SPÉ
Les suites
Modes de génération, sens de variation, suites arithmétiques et géométriques, sommes et seuils.
NOTION
Deux façons de définir une suite
Forme explicite : $u_n=f(n)$. On calcule directement n’importe quel terme.
$u_n=n^2+n$ : $u_0=0$, $u_1=2$, $u_2=6$, $u_3=12$.
Par récurrence : $u_0$ donné et $u_{n+1}=f(u_n)$. Il faut calculer les termes un par un.
$u_0=3$ et $u_{n+1}=2u_n-1$ : $u_1=5$, $u_2=9$, $u_3=17$.
MÉTHODE
Sens de variation
$(u_n)$ est croissante si $u_{n+1}\ge u_n$ pour tout $n$, décroissante si $u_{n+1}\le u_n$.
On étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$. Pour $u_n=n^2+n$ : $u_{n+1}-u_n=2n+2>0$, donc croissante.
💡 Si $u_n>0$, on peut aussi comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ à $1$.
NOTION
Suites arithmétiques
$u_{n+1}=u_n+r$ : on ajoute toujours $r$ (la raison).
$u_n=u_0+nr\qquad u_n=u_p+(n-p)r$
$u_0+u_1+\cdots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}2$
$1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$.
ANIMATION
Faites varier $u_0$ et $r$
Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés. Quel est le rôle du signe de $r$ ?
NOTION
Suites géométriques
$u_{n+1}=q\,u_n$ : on multiplie toujours par $q$ (la raison).
$u_n=u_0\,q^n\qquad u_n=u_p\,q^{n-p}$
$1+q+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\neq1)$
$1+2+4+\cdots+2^9=\dfrac{1-2^{10}}{1-2}=1023$.
ANIMATION
Le comportement de $q^n$
Faites varier $q$ : la suite grandit, diminue, oscille ?
À RETENIR
Comportement d’une suite géométrique
$q>1$ et $u_0>0$ : croissante, tend vers $+\infty$.
$00$ : décroissante, tend vers $0$.
$q<0$ : la suite alterne de signe.
ALGORITHME
Seuil : à partir de quand ?
Capital initial $100$ €, placé à $5\,\%$ par an : $u_{n+1}=1{,}05\,u_n$. À partir de quelle année dépasse-t-on $200$ € ?
Algorithme : $n\leftarrow0$ ; $u\leftarrow100$ ; tant que $u\le200$ : $u\leftarrow1{,}05\times u$ ; $n\leftarrow n+1$.
$1{,}05^{14}\approx1{,}98<2$ et $1{,}05^{15}\approx2{,}08>2$ : la boucle s’arrête avec $n=15$.
QUESTION FLASH
Nature d’une suite
La suite définie par $u_0=7$ et $u_{n+1}=u_n+4$ est :
On ajoute toujours $4$ : suite arithmétique de raison $4$ et de premier terme $7$.
QUESTION FLASH
Variation d’une suite géométrique
La suite $u_n=5\times0{,}5^n$ est :
$q=0{,}5\in]0\,;1[$ et $u_0=5>0$ : la suite est décroissante et tend vers $0$.
DÉFI
Un seuil
Quel est le plus petit entier $n$ tel que $1{,}05^n>2$ ?
💡 Calculez $1{,}05^{14}$ et $1{,}05^{15}$ à la calculatrice.
$1{,}05^{14}\approx1{,}98<2$ et $1{,}05^{15}\approx2{,}08>2$ : $n=15$.
DÉFI
Somme géométrique
Calculer la somme des $8$ premiers termes ($u_0$ à $u_7$) de la suite géométrique de premier terme $u_0=3$ et de raison $q=2$.
💡 $S=u_0\times\dfrac{1-q^{8}}{1-q}$.
$S=3\times\dfrac{1-2^8}{1-2}=3\times255=765$.
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