PREMIÈRE SPÉ
Le second degré
Forme canonique, discriminant, racines, factorisation et signe d’un trinôme.
NOTION
Fonction polynôme du second degré
Pour $a\neq0$, la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ est un trinôme. Sa courbe est une parabole.
Si $a>0$, la parabole est tournée vers le haut (minimum). Si $a<0$, vers le bas (maximum).
💡 Elle est symétrique par rapport à la droite $x=-\dfrac b{2a}$, qui passe par le sommet.
ANIMATION
Faites varier $a$, $b$ et $c$
Observez le sommet, le discriminant et les racines.
NOTION
Forme canonique
$f(x)=a\,(x-\alpha)^2+\beta$
$\alpha=-\dfrac b{2a}\qquad\beta=f(\alpha)$
💡 Le sommet de la parabole est $S(\alpha\,;\beta)$.
Exemple : $x^2-4x+3=(x-2)^2-1$, donc $\alpha=2$, $\beta=-1$ et $S(2\,;-1)$.
THÉORÈME
Discriminant et racines
Le discriminant de $ax^2+bx+c$ est :
$\Delta=b^2-4ac$
$\Delta>0$ : deux racines $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}$.
$\Delta=0$ : une racine double $x_0=-\dfrac b{2a}$.
$\Delta<0$ : aucune racine réelle.
EXEMPLE
Résoudre $2x^2-3x-2=0$
$a=2$, $b=-3$, $c=-2$ : $\Delta=(-3)^2-4\times2\times(-2)=9+16=25>0$.
$x_1=\dfrac{3-5}{4}=-\dfrac12\qquad x_2=\dfrac{3+5}{4}=2$
✅ $S=\left\{-\dfrac12\,;\,2\right\}$
À RETENIR
Factorisation
$\Delta>0$ : $ax^2+bx+c=a\,(x-x_1)(x-x_2)$.
$\Delta=0$ : $ax^2+bx+c=a\,(x-x_0)^2$.
$\Delta<0$ : pas de factorisation dans $\mathbb R$.
Exemple : $2x^2-3x-2=2\,(x-2)\left(x+\dfrac12\right)=(x-2)(2x+1)$.
MÉTHODE
Signe d’un trinôme
$\Delta>0$ : du signe de $a$ à l’extérieur des racines, du signe de $-a$ entre les racines.
$\Delta=0$ : du signe de $a$, et nul en $x_0$.
$\Delta<0$ : toujours du signe de $a$.
Exemple : $x^2-4x+3\ge0$. Racines $1$ et $3$, $a=1>0$ : $S=]-\infty\,;1]\cup[3\,;+\infty[$.
ASTUCE
Somme et produit des racines
Si $x_1$ et $x_2$ sont les racines de $ax^2+bx+c$ :
$x_1+x_2=-\dfrac ba\qquad x_1\,x_2=\dfrac ca$
Exemple : $x^2-5x+6$ : somme $5$, produit $6$ : les racines sont $2$ et $3$.
💡 Utile pour trouver une racine évidente puis déduire l’autre.
APPLICATION
Un problème d’optimisation
Un rectangle a un périmètre de $20$ m. Quelle largeur $x$ donne l’aire maximale ?
Longueur $=10-x$, donc $A(x)=x(10-x)=-x^2+10x$ pour $x\in[0\,;10]$.
$a=-1<0$ : maximum au sommet, en $x=-\dfrac{10}{2\times(-1)}=5$, et $A(5)=25$.
✅ Le carré de côté $5$ m a l’aire maximale : $25\ \text{m}^2$.
QUESTION FLASH
Nature des racines
Que peut-on dire de l’équation $x^2+2x+5=0$ ?
$\Delta=2^2-4\times1\times5=4-20=-16<0$ : aucune racine réelle.
QUESTION FLASH
Signe d’un trinôme
$f(x)=-x^2+2x+3$ a pour racines $-1$ et $3$. Sur quel ensemble a-t-on $f(x)>0$ ?
$a=-1<0$ : $f$ est du signe de $-a$ (positif) entre les racines, donc sur $]-1\,;3[$.
QUESTION FLASH
Somme et produit
Quelles sont les racines de $x^2-5x+6=0$ ?
Somme $=-\dfrac ba=5$ et produit $=\dfrac ca=6$ : ce sont $2$ et $3$.
DÉFI
Un discriminant
Calculer le discriminant de $3x^2-2x-1$.
💡 $\Delta=b^2-4ac$ avec $a=3$, $b=-2$, $c=-1$.
$\Delta=(-2)^2-4\times3\times(-1)=4+12=16$.
DÉFI
Abscisse du sommet
Quelle est l’abscisse du sommet de la parabole $y=x^2-6x+1$ ?
💡 $\alpha=-\dfrac b{2a}$.
$\alpha=-\dfrac{-6}{2\times1}=3$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu la forme canonique, le discriminant, les racines, la factorisation et le signe d’un trinôme.
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