PREMIÈRE SPÉ

Le produit scalaire

Définition, expression analytique, orthogonalité, projection, Al-Kashi, droites et cercles.

NOTION

Définition

Pour deux vecteurs non nuls $\vec u$ et $\vec v$ faisant un angle $\theta$ :

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$

C’est un nombre (pas un vecteur). Il est nul si l’un des vecteurs est nul.

$\|\vec u\|=3$, $\|\vec v\|=4$, $\theta=60^\circ$ : $\vec u\cdot\vec v=3\times4\times\dfrac12=6$.

ANIMATION

Le signe du produit scalaire

Faites varier les normes et l’angle $\theta$ : que devient le signe du produit scalaire ?

À RETENIR

Signe et orthogonalité

$\theta$ aigu $\Rightarrow\vec u\cdot\vec v>0$ ; $\theta$ obtus $\Rightarrow\vec u\cdot\vec v<0$.

$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$

FORMULE

Expression analytique

Dans un repère orthonormé, pour $\vec u(x\,;y)$ et $\vec v(x^{\prime}\,;y^{\prime})$ :

$\vec u\cdot\vec v=xx^{\prime}+yy^{\prime}$

$\vec u(2\,;3)$ et $\vec v(1\,;-2)$ : $\vec u\cdot\vec v=2-6=-4$.

Angle : $\cos\theta=\dfrac{-4}{\sqrt{13}\sqrt5}\approx-0{,}496$, donc $\theta\approx119{,}7^\circ$ (obtus).

MÉTHODE

Démontrer une orthogonalité

$\vec u(2\,;1)$ et $\vec v(-1\,;2)$ : $\vec u\cdot\vec v=-2+2=0$ : orthogonaux.

$A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(0\,;3)$ : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times0+0\times3=0$ : triangle rectangle en $A$.

GÉOMÉTRIE

Projection orthogonale

Si $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ :

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AH}=\pm AB\times AH$

$A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$, $C(3\,;2)$ : $H(3\,;0)$, donc $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4\times3=12$. Par les coordonnées : $4\times3+0\times2=12$ ✓.

PROPRIÉTÉS

Règles de calcul

$\vec u\cdot\vec v=\vec v\cdot\vec u$ ; $\vec u\cdot(\vec v+\vec w)=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w$ ; $(k\vec u)\cdot\vec v=k\,(\vec u\cdot\vec v)$.

$\|\vec u+\vec v\|^2=\|\vec u\|^2+2\,\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2$

$\|\vec u\|=2$, $\|\vec v\|=3$, $\vec u\cdot\vec v=1$ : $\|\vec u+\vec v\|^2=4+2+9=15$.

THÉORÈME

Formule d’Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$, avec $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$ :

$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$

$b=5$, $c=8$, $\widehat A=60^\circ$ : $a^2=25+64-2\times5\times8\times\dfrac12=49$, donc $a=7$.

💡 Généralise Pythagore : si $\widehat A=90^\circ$, $\cos\widehat A=0$ et on retrouve $a^2=b^2+c^2$.

DROITES

Vecteur normal et équation d’une droite

Un vecteur normal à une droite est orthogonal à ses vecteurs directeurs. Pour $ax+by+c=0$ : $\vec n(a\,;b)$.

$M\in d\iff\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\iff a(x-x_A)+b(y-y_A)=0$

$A(1\,;2)$ et $\vec n(2\,;-1)$ : $2(x-1)-(y-2)=0\iff2x-y=0$.

ANIMATION

Vecteur directeur et vecteur normal

Cliquez sur « Afficher le vecteur normal » : il est toujours perpendiculaire à la droite.

CERCLES

Équation d’un cercle

Cercle de centre $\Omega(a\,;b)$ et de rayon $r$ : $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$.

Centre $(1\,;-2)$, rayon $3$ : $(x-1)^2+(y+2)^2=9$.

💡 $M$ est sur le cercle de diamètre $[AB]$ $\iff\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.

$A(0\,;0)$, $B(4\,;0)$ : $x(x-4)+y^2=0\iff(x-2)^2+y^2=4$ : centre $(2\,;0)$, rayon $2$.

QUESTION FLASH

Produit scalaire nul

$\|\vec u\|=2$, $\|\vec v\|=5$ et l’angle entre $\vec u$ et $\vec v$ vaut $90^\circ$. Que vaut $\vec u\cdot\vec v$ ?

$\cos90^\circ=0$ donc $\vec u\cdot\vec v=2\times5\times0=0$ : les vecteurs sont orthogonaux.

QUESTION FLASH

Orthogonaux ?

$\vec u(3\,;-1)$ et $\vec v(2\,;6)$ sont-ils orthogonaux ?

$\vec u\cdot\vec v=6-6=0$ : orthogonaux. (Ne pas confondre avec la colinéarité, qui utilise le déterminant.)

QUESTION FLASH

Vecteur normal

Quel est un vecteur normal à la droite $4x-3y+1=0$ ?

Les coefficients de $x$ et $y$ donnent $\vec n(4\,;-3)$. ($(3\,;4)$ est un vecteur directeur.)

DÉFI

Un produit scalaire

Calculer $\vec u\cdot\vec v$ pour $\vec u(2\,;3)$ et $\vec v(4\,;-1)$.

💡 $xx^{\prime}+yy^{\prime}$.

$2\times4+3\times(-1)=8-3=5$.

DÉFI

Al-Kashi

Dans un triangle $ABC$ : $b=5$, $c=8$ et $\widehat A=60^\circ$. Calculer $a=BC$.

💡 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A$ avec $\cos60^\circ=\dfrac12$.

$a^2=25+64-40=49$ donc $a=7$.

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Chapitre terminé

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