PREMIÈRE SPÉ
La dérivation
Nombre dérivé, tangente, fonctions dérivées, signe de la dérivée et variations.
NOTION
Nombre dérivé et tangente
Le taux de variation de $f$ entre $a$ et $a+h$ est $\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$ (pente d’une sécante).
$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
$f^{\prime}(a)$ est la pente de la tangente au point d’abscisse $a$.
$y=f^{\prime}(a)\,(x-a)+f(a)$
ANIMATION
De la sécante à la tangente
Pour $f(x)=x^3-3x$, faites diminuer $h$ : la sécante tend vers la tangente.
EXEMPLE
Équation d’une tangente
Soit $f(x)=x^2-2x$ et $a=3$. On a $f(3)=9-6=3$ et $f^{\prime}(x)=2x-2$, donc $f^{\prime}(3)=4$.
$y=4\,(x-3)+3=4x-9$.
RAPPELS
Fonctions dérivées usuelles
$(k)^{\prime}=0\qquad(x)^{\prime}=1\qquad(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}$
$\left(\dfrac1x\right)^{\prime}=-\dfrac1{x^2}\qquad(\sqrt x)^{\prime}=\dfrac1{2\sqrt x}$
💡 Dérivée de $x\mapsto g(ax+b)$ : $a\,g^{\prime}(ax+b)$.
RÈGLES
Opérations sur les dérivées
$(u+v)^{\prime}=u^{\prime}+v^{\prime}\qquad(ku)^{\prime}=k\,u^{\prime}$
$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\qquad\left(\dfrac uv\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}$
$f(x)=(2x+1)(x^2-3)$ : $f^{\prime}(x)=2(x^2-3)+(2x+1)(2x)=6x^2+2x-6$.
$g(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ : $g^{\prime}(x)=\dfrac{1\times(x-2)-(x+1)\times1}{(x-2)^2}=\dfrac{-3}{(x-2)^2}$.
THÉORÈME
Signe de la dérivée et variations
Si $f^{\prime}\ge0$ sur un intervalle $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
Si $f^{\prime}\le0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
💡 Si $f^{\prime}$ s’annule en changeant de signe en $x_0$, $f$ admet un extremum local en $x_0$.
ANIMATION
$f$ et sa dérivée $f^{\prime}$
Déplacez le point : quand $f^{\prime}>0$ la tangente monte et $f$ croît ; quand $f^{\prime}<0$ elle descend.
MÉTHODE
Étudier les variations de $f(x)=x^3-3x$
$f^{\prime}(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$.
$f^{\prime}$ est un trinôme ($a=3>0$) : positive à l’extérieur des racines $-1$ et $1$, négative entre.
$f$ croît sur $]-\infty\,;-1]$, décroît sur $[-1\,;1]$, croît sur $[1\,;+\infty[$.
✅ Maximum local $f(-1)=2$ ; minimum local $f(1)=-2$.
QUESTION FLASH
Dériver une puissance
Quelle est la dérivée de $f(x)=x^3$ ?
$(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}$ avec $n=3$ : $3x^2$. ($\dfrac{x^4}4$ est une primitive, pas la dérivée.)
QUESTION FLASH
Lire un signe
Si $f^{\prime}(x)<0$ sur $]2\,;5[$, que peut-on dire de $f$ sur cet intervalle ?
Une dérivée négative signifie que $f$ est décroissante (et non que $f$ est négative).
DÉFI
Un nombre dérivé
Soit $f(x)=x^2-4x+1$. Calculer $f^{\prime}(3)$.
💡 $f^{\prime}(x)=2x-4$.
$f^{\prime}(x)=2x-4$ donc $f^{\prime}(3)=6-4=2$.
DÉFI
Où la dérivée s’annule-t-elle ?
Soit $f(x)=2x^3-3x^2$. Sa dérivée $6x^2-6x$ s’annule en $0$ et en une autre valeur : laquelle ?
💡 Factorisez : $6x^2-6x=6x(x-1)$.
$6x(x-1)=0\iff x=0$ ou $x=1$.
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Chapitre terminé
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