PREMIÈRE SPÉ
Variables aléatoires et loi binomiale
Loi de probabilité, espérance, variance, schéma de Bernoulli et loi binomiale.
NOTION
Variable aléatoire et loi de probabilité
Une variable aléatoire $X$ associe un nombre à chaque issue d’une expérience aléatoire.
Sa loi de probabilité donne $P(X=x_i)=p_i$ avec $p_1+\cdots+p_n=1$.
Jeu : $X$ = gain (en €), de loi $P(X=-1)=0{,}5$, $P(X=2)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$.
À RETENIR
Espérance, variance, écart type
$E(X)=\sum p_i\,x_i\qquad V(X)=\sum p_i\,(x_i-E(X))^2\qquad\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$
Jeu : $E(X)=0{,}5\times(-1)+0{,}3\times2+0{,}2\times5=-0{,}5+0{,}6+1=1{,}1$ €.
$V(X)=E(X^2)-E(X)^2=(0{,}5+1{,}2+5)-1{,}21=5{,}49$, $\sigma\approx2{,}34$.
💡 $E(X)>0$ : le jeu est favorable au joueur en moyenne sur un grand nombre de parties.
NOTION
Épreuve et schéma de Bernoulli
Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès ($p$) ou échec ($1-p$).
Un schéma de Bernoulli répète $n$ fois, de façon indépendante et identique, une telle épreuve. $X$ = nombre de succès.
$X\sim\mathcal B(n\,;p)$
SIMULATION
La planche de Galton
Chaque bille tombe de $n$ rangées de clous et va à droite avec la probabilité $p$ : l’histogramme dessine $\mathcal B(n\,;p)$.
FORMULE
La loi binomiale
$P(X=k)=\dbinom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}$
$\dbinom nk$ : nombre de chemins de l’arbre à $k$ succès. À la calculatrice : touche nCr.
Exemple : $X\sim\mathcal B(4\,;0{,}25)$ : $P(X=1)=\dbinom41\times0{,}25\times0{,}75^3=4\times0{,}25\times0{,}421875=0{,}421875$.
À RETENIR
Espérance et variance de $\mathcal B(n\,;p)$
$E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)\qquad\sigma=\sqrt{np(1-p)}$
$X\sim\mathcal B(20\,;0{,}3)$ : $E(X)=6$ et $V(X)=20\times0{,}3\times0{,}7=4{,}2$.
ANIMATION
Histogramme de $\mathcal B(n\,;p)$
Faites varier $n$ et $p$ : où est le pic ? Comment évolue la dispersion ?
MÉTHODE
Calculer des probabilités avec $X\sim\mathcal B(n\,;p)$
Au moins un succès : $P(X\ge1)=1-P(X=0)=1-(1-p)^n$.
Cumulée : $P(X\le k)=P(X=0)+\cdots+P(X=k)$ (touche « binomFRép » de la calculatrice).
$X\sim\mathcal B(10\,;0{,}5)$ : $P(X\ge1)=1-0{,}5^{10}\approx0{,}999$.
QUESTION FLASH
Reconnaître la loi
On lance $5$ fois un dé équilibré. $X$ est le nombre de « 6 » obtenus. Quelle est la loi de $X$ ?
$n=5$ lancers identiques et indépendants, succès « obtenir un 6 » de probabilité $\dfrac16$ : $X\sim\mathcal B\left(5\,;\dfrac16\right)$.
QUESTION FLASH
Espérance
$X\sim\mathcal B(40\,;0{,}25)$. Quelle est l’espérance de $X$ ?
$E(X)=np=40\times0{,}25=10$. ($7{,}5=np(1-p)$ est la variance.)
DÉFI
Une espérance
Une variable $X$ prend les valeurs $-1$, $2$, $5$ avec les probabilités $0{,}5$, $0{,}3$, $0{,}2$. Calculer $E(X)$.
💡 $E(X)=\sum p_i\,x_i$.
$E(X)=-0{,}5+0{,}6+1=1{,}1$.
DÉFI
Une variance binomiale
$X\sim\mathcal B(20\,;0{,}1)$. Calculer $V(X)$.
💡 $V(X)=np(1-p)$.
$V(X)=20\times0{,}1\times0{,}9=1{,}8$.
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