MATHS COMPLÉMENTAIRES
Suites numériques
Suites arithmétiques et géométriques, sommes, comportement à l’infini, suites arithmético-géométriques et seuils.
NOTION
Modéliser par une suite
Une suite modélise une grandeur observée à des instants successifs : population, capital, quantité de médicament…
Explicite : $u_n=f(n)$. Par récurrence : $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $u_0$ donné.
💡 Le sens de variation se lit sur le signe de $u_{n+1}-u_n$.
NOTION
Suites arithmétiques
$u_{n+1}=u_n+r\qquad u_n=u_0+nr$
$u_0+\cdots+u_n=\dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}2$
$u_0=2$, $r=3$ : $u_{10}=2+10\times3=32$.
ANIMATION
Évolution linéaire : $u_0$ et $r$
Les points $(n\,;u_n)$ sont alignés sur une droite de pente $r$.
NOTION
Suites géométriques
$u_{n+1}=q\,u_n\qquad u_n=u_0\,q^n$
$1+q+\cdots+q^n=\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\neq1)$
$1+2+4+\cdots+2^7=\dfrac{1-2^8}{1-2}=255$.
ANIMATION
Évolution exponentielle : la raison $q$
Faites varier $q$ : croissance, décroissance, oscillation ?
À RETENIR
Comportement à l’infini
Suite arithmétique : $r>0\Rightarrow u_n\to+\infty$ ; $r<0\Rightarrow u_n\to-\infty$.
Suite géométrique ($u_0>0$) : $q>1\Rightarrow u_n\to+\infty$ ; $-1
$u_n=5\times0{,}8^n\to0$ : le médicament est peu à peu éliminé.
MÉTHODE
Suites arithmético-géométriques
$u_{n+1}=a\,u_n+b$ avec $a\neq1$. On cherche le point fixe $\ell=a\ell+b$, soit $\ell=\dfrac b{1-a}$.
La suite $v_n=u_n-\ell$ est géométrique de raison $a$ : $v_{n+1}=a\,v_n$.
$u_0=10$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+4$ : $\ell=\dfrac4{0{,}5}=8$, $v_0=2$, $v_n=2\times0{,}5^n$.
✅ $u_n=8+2\times0{,}5^n$ : la suite converge vers $8$ (décroissante).
ALGORITHME
Déterminer un seuil
Un capital de $1000$ € placé à $3\,\%$ par an : $u_n=1000\times1{,}03^n$. À partir de quand dépasse-t-on $1500$ € ?
Boucle : $n\leftarrow0$ ; $u\leftarrow1000$ ; tant que $u<1500$ : $u\leftarrow1{,}03\,u$ ; $n\leftarrow n+1$.
$1{,}03^{13}\approx1{,}469<1{,}5$ et $1{,}03^{14}\approx1{,}513>1{,}5$ : $n=14$.
QUESTION FLASH
Terme d’une suite arithmétique
$u_0=2$ et $u_{n+1}=u_n+3$. Que vaut $u_{10}$ ?
$u_{10}=u_0+10r=2+30=32$.
QUESTION FLASH
Limite
Quelle est la limite de $u_n=5\times0{,}8^n$ ?
$-1<0{,}8<1$ donc $0{,}8^n\to0$ et $u_n\to0$.
QUESTION FLASH
Point fixe
$u_{n+1}=0{,}5\,u_n+4$. Vers quelle valeur la suite converge-t-elle ?
$\ell=0{,}5\ell+4\iff0{,}5\ell=4\iff\ell=8$.
DÉFI
Somme géométrique
Calculer $1+2+4+8+16+32+64+128$.
💡 $\dfrac{1-2^8}{1-2}$.
$\dfrac{1-2^8}{1-2}=\dfrac{-255}{-1}=255$.
DÉFI
Un seuil
Quel est le plus petit entier $n$ tel que $1000\times1{,}03^n\ge1500$ ?
💡 Calculez $1{,}03^{13}$ et $1{,}03^{14}$ à la calculatrice.
$1{,}03^{13}\approx1{,}469<1{,}5$ et $1{,}03^{14}\approx1{,}513\ge1{,}5$ : $n=14$.
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