MATHS COMPLÉMENTAIRES
Statistiques à deux variables
Nuage de points, point moyen, droite de régression, corrélation, prévisions et changement de variable.
NOTION
Série à deux variables et nuage de points
On mesure deux caractères sur les mêmes individus : série de couples $(x_i\,;y_i)$. Le nuage de points les représente dans un repère.
Le point moyen est $G(\bar x\,;\bar y)$ avec $\bar x=\dfrac{\sum x_i}n$ et $\bar y=\dfrac{\sum y_i}n$.
$x$ : $1,2,3,4,5$ ; $y$ : $2,4,5,4,5$. $\bar x=3$, $\bar y=4$ : $G(3\,;4)$.
THÉORÈME
La droite de régression (moindres carrés)
La droite d’ajustement affine $y=ax+b$ qui rend minimale la somme des carrés des écarts verticaux aux points :
$a=\dfrac{\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{\sum(x_i-\bar x)^2}=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\qquad b=\bar y-a\bar x$
💡 La droite passe toujours par le point moyen $G$.
EXEMPLE
Un calcul complet
Avec $\bar x=3$, $\bar y=4$ : $\sum(x_i-3)(y_i-4)=4+0+0+0+2=6$ et $\sum(x_i-3)^2=4+1+0+1+4=10$.
$a=\dfrac6{10}=0{,}6$ et $b=4-0{,}6\times3=2{,}2$ : $y=0{,}6x+2{,}2$.
Prévision pour $x=6$ : $y=0{,}6\times6+2{,}2=5{,}8$.
ANIMATION
Nuage de points et droite de régression
Un sixième point est mobile : voyez comment la droite, le point moyen et le coefficient $r$ réagissent.
NOTION
Le coefficient de corrélation
$r=\dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sigma_x\,\sigma_y}\in[-1\,;1]$
$|r|$ proche de $1$ : points presque alignés ; $r>0$ : $y$ croît avec $x$ ; $r<0$ : $y$ décroît ; $r\approx0$ : pas de lien affine.
Exemple : $r=\dfrac6{\sqrt{10\times6}}\approx0{,}775$ (corrélation positive assez forte).
ATTENTION
Interpolation, extrapolation, causalité
Interpolation : prévoir à l’intérieur du domaine des données, plutôt fiable.
Extrapolation : prévoir hors du domaine, de plus en plus risqué.
⚠️ Une forte corrélation n’implique pas un lien de cause à effet.
MÉTHODE
Ajustement par changement de variable
Si le nuage a une allure exponentielle ($y\approx C\,a^x$), on pose $z=\ln y$ : $z=\ln C+x\ln a$ est affine en $x$.
On ajuste $z=\alpha x+\beta$ par moindres carrés, puis $y=e^{\beta}\times(e^{\alpha})^x$.
💡 On reconnaît ce cas quand $y$ est multiplié par un facteur à peu près constant quand $x$ augmente de $1$.
QUESTION FLASH
Le point moyen
La droite de régression de $y$ en $x$ passe-t-elle par le point moyen $G$ ?
Comme $b=\bar y-a\bar x$, on a $\bar y=a\bar x+b$ : $G$ est toujours sur la droite.
QUESTION FLASH
Lire $r$
On trouve $r=-0{,}95$. Que peut-on dire ?
$|r|$ est proche de $1$ (points presque alignés) et $r<0$ : la tendance est décroissante.
QUESTION FLASH
Prévision
Des données observées pour $x\in[1\,;5]$ servent à prévoir $y$ pour $x=50$. De quoi s’agit-il ?
$x=50$ est très en dehors du domaine observé : c’est une extrapolation, à manier avec prudence.
DÉFI
Utiliser la droite
La droite de régression est $y=0{,}6x+2{,}2$. Quelle valeur de $y$ prévoit-on pour $x=10$ ?
💡 $0{,}6\times10+2{,}2$.
$0{,}6\times10+2{,}2=8{,}2$ (extrapolation : $10$ est hors de $[1\,;5]$).
DÉFI
Le point moyen
La droite de régression est $y=2x+1$ et $\bar x=5$. Quelle est la valeur de $\bar y$ ?
💡 Le point moyen est sur la droite.
$\bar y=2\times5+1=11$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu le nuage de points, la droite de régression, la corrélation, les prévisions et le changement de variable.
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