MATHS COMPLÉMENTAIRES
Primitives et équations différentielles
Primitives usuelles, primitives de composées, équation y′ = ay + b et condition initiale.
NOTION
Primitive d’une fonction
$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F^{\prime}=f$ sur $I$.
Toute fonction continue admet des primitives ; deux primitives diffèrent d’une constante : $F+C$.
$x^n\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\quad\dfrac1x\to\ln x\quad e^x\to e^x\quad\dfrac1{\sqrt x}\to2\sqrt x$
RÈGLES
Primitives de fonctions composées
$u^{\prime}e^u\to e^u\qquad\dfrac{u^{\prime}}u\to\ln u\ (u>0)\qquad u^{\prime}u^n\to\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
$f(x)=2xe^{x^2}$ : $u=x^2$, donc $F(x)=e^{x^2}$.
$f(x)=\dfrac{2x}{x^2+1}$ : $F(x)=\ln(x^2+1)$.
NOTION
Équation différentielle $y^{\prime}=ay$
Une équation différentielle a pour inconnue une fonction $y$, reliée à sa dérivée $y^{\prime}$.
$y^{\prime}=ay\iff y(x)=C\,e^{ax}$
💡 Une condition initiale $y(x_0)=y_0$ fixe $C$ : il y a alors une unique solution.
THÉORÈME
Équation $y^{\prime}=ay+b$ ($a\neq0$)
Solution constante : $y_p=-\dfrac ba$ (car $y_p^{\prime}=0$ et $ay_p+b=0$).
$y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac ba$
$y^{\prime}=2y+6$, $y(0)=1$ : $y=Ce^{2x}-3$ ; $C-3=1$ donc $C=4$ : $y(x)=4e^{2x}-3$.
✅ Vérification : $y^{\prime}=8e^{2x}$ et $2y+6=8e^{2x}-6+6=8e^{2x}$.
ANIMATION
Champ de pentes de $y^{\prime}=ay+b$
Chaque petit trait donne la pente d’une solution : la courbe les suit. Faites varier $a$, $b$ et $y(0)$.
À RETENIR
Comportement en $+\infty$
$a<0$ : $e^{ax}\to0$ donc $y\to-\dfrac ba$ (équilibre stable).
$a>0$ : $y$ s’éloigne de l’équilibre (équilibre instable).
MODÈLE
Refroidissement de Newton
La vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart avec l’extérieur : $T^{\prime}=-k\,(T-T_e)$.
$T^{\prime}=-kT+kT_e$ : $-\dfrac ba=T_e$, donc $T(t)=T_e+(T_0-T_e)\,e^{-kt}$.
SIMULATION
Refroidissement : $T(t)=T_e+(T_0-T_e)e^{-kt}$
Modifiez $k$, $T_e$ et $T_0$ : la température tend vers $T_e$.
QUESTION FLASH
Une primitive
Quelle est une primitive de $f(x)=2xe^{x^2}$ ?
$f=u^{\prime}e^u$ avec $u=x^2$ : une primitive est $e^u=e^{x^2}$.
QUESTION FLASH
Solutions de $y^{\prime}=3y$
Quelles sont les solutions de $y^{\prime}=3y$ ?
Pour $y^{\prime}=ay$, les solutions sont $Ce^{ax}$ avec $a=3$.
QUESTION FLASH
Solution constante
Quelle est la solution constante de $y^{\prime}=-2y+6$ ?
Une constante a une dérivée nulle : $0=-2y+6\iff y=3$.
DÉFI
Déterminer $C$
$y^{\prime}=2y+6$ avec $y(0)=1$. En écrivant $y=Ce^{2x}-3$, que vaut $C$ ?
💡 $y(0)=C-3=1$.
$C-3=1$ donc $C=4$.
DÉFI
Limite en $+\infty$
Soit $y$ la solution de $y^{\prime}=-2y+10$ avec $y(0)=0$. Quelle est la limite de $y(x)$ en $+\infty$ ?
💡 Avec $a<0$ : la limite est $-\dfrac ba$.
$a=-2<0$ donc $y(x)\to-\dfrac{10}{-2}=5$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu les primitives, l’équation y′ = ay + b, la condition initiale et le refroidissement de Newton.
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