MATHS COMPLÉMENTAIRES
Lois discrètes
Variable aléatoire, espérance, variance, loi de Bernoulli et loi binomiale.
NOTION
Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire $X$ prend des valeurs $x_1,\dots,x_n$ avec les probabilités $p_i=P(X=x_i)$, de somme $1$.
$E(X)=\sum p_i\,x_i\qquad V(X)=\sum p_i\,(x_i-E(X))^2=E(X^2)-E(X)^2$
$X$ : $-1$ ($0{,}5$), $2$ ($0{,}3$), $5$ ($0{,}2$) : $E(X)=-0{,}5+0{,}6+1=1{,}1$.
RÈGLES
Opérations sur $X$
$E(aX+b)=aE(X)+b\qquad V(aX+b)=a^2V(X)$
$E(X)=4$ : $E(2X+3)=2\times4+3=11$.
💡 Ajouter $b$ décale la moyenne mais ne change pas la dispersion ; multiplier par $a$ multiplie l’écart type par $|a|$.
NOTION
Loi de Bernoulli
Une variable de Bernoulli $X$ vaut $1$ (succès) avec la probabilité $p$, et $0$ (échec) avec $1-p$.
$E(X)=p\qquad V(X)=p(1-p)$
$p=0{,}3$ : $E(X)=0{,}3$ et $V(X)=0{,}3\times0{,}7=0{,}21$.
NOTION
Loi binomiale
$X$ = nombre de succès dans un schéma de Bernoulli ($n$ épreuves identiques et indépendantes) : $X\sim\mathcal B(n\,;p)$.
$P(X=k)=\dbinom nk\,p^k\,(1-p)^{n-k}\qquad E(X)=np\qquad V(X)=np(1-p)$
$\mathcal B(5\,;0{,}2)$ : $P(X=2)=10\times0{,}2^2\times0{,}8^3=0{,}2048$.
SIMULATION
La planche de Galton
Chaque bille va à droite avec la probabilité $p$ à chacune des $n$ rangées : l’histogramme dessine $\mathcal B(n\,;p)$.
ANIMATION
Histogramme de $\mathcal B(n\,;p)$
Faites varier $n$ et $p$ : position du pic, dispersion, zone $[E-\sigma\,;E+\sigma]$.
MÉTHODE
Calculs avec la calculatrice
Au moins un succès : $P(X\ge1)=1-(1-p)^n$.
Probabilités cumulées : $P(X\le k)$ avec « binomFRép » (ou « BinomialCD »). $P(X\ge k)=1-P(X\le k-1)$.
$X\sim\mathcal B(10\,;0{,}5)$ : $P(X\ge1)=1-0{,}5^{10}\approx0{,}999$.
QUESTION FLASH
Transformer une espérance
$E(X)=4$. Que vaut $E(2X+3)$ ?
$E(2X+3)=2E(X)+3=8+3=11$.
QUESTION FLASH
Variance de Bernoulli
$X$ suit une loi de Bernoulli de paramètre $p=0{,}3$. Que vaut $V(X)$ ?
$V(X)=p(1-p)=0{,}3\times0{,}7=0{,}21$.
QUESTION FLASH
Reconnaître la loi
On tire $10$ boules avec remise dans une urne où $30\,\%$ des boules sont rouges. $X$ = nombre de boules rouges. Quelle est la loi de $X$ ?
$10$ tirages identiques et indépendants (avec remise), succès de probabilité $0{,}3$ : $X\sim\mathcal B(10\,;0{,}3)$.
DÉFI
Une probabilité
$X\sim\mathcal B(5\,;0{,}2)$. Calculer $P(X=2)$ (écrire un décimal).
💡 $\dbinom52=10$ ; $0{,}2^2=0{,}04$ ; $0{,}8^3=0{,}512$.
$10\times0{,}04\times0{,}512=0{,}2048$.
DÉFI
Une espérance binomiale
$X\sim\mathcal B(50\,;0{,}3)$. Calculer $E(X)$.
💡 $E(X)=np$.
$E(X)=50\times0{,}3=15$.
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Chapitre terminé
Vous avez revu les variables aléatoires, l’espérance, la variance, la loi de Bernoulli et la loi binomiale.
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