MATHS COMPLÉMENTAIRES
Lois continues
Densité de probabilité, loi uniforme, loi exponentielle et loi normale.
NOTION
Variable aléatoire continue et densité
Une variable aléatoire continue $X$ peut prendre toute valeur d’un intervalle (durée, mesure, taille…).
Sa loi est décrite par une densité $f\ge0$ dont l’aire totale vaut $1$ : $P(a\le X\le b)=\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$.
💡 $P(X=a)=0$ : on peut inclure ou exclure les bornes sans changer la probabilité.
LOI
La loi uniforme sur $[a\,;b]$
Densité constante $f(x)=\dfrac1{b-a}$ sur $[a\,;b]$ : toutes les valeurs sont « équiprobables ».
$P(c\le X\le d)=\dfrac{d-c}{b-a}\qquad E(X)=\dfrac{a+b}2$
Uniforme sur $[0\,;10]$ : $P(2\le X\le5)=\dfrac{5-2}{10}=0{,}3$ ; $E(X)=5$.
LOI
La loi exponentielle de paramètre $\lambda$
Densité $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ sur $[0\,;+\infty[$. Elle modélise la durée de vie d’un phénomène sans vieillissement.
$P(X\le t)=1-e^{-\lambda t}\qquad P(X>t)=e^{-\lambda t}\qquad E(X)=\dfrac1\lambda$
$\lambda=0{,}1$ : $P(X\le10)=1-e^{-1}\approx0{,}632$ ; $E(X)=10$.
💡 Absence de mémoire : $P_{X>s}(X>s+t)=P(X>t)$.
LOI
La loi normale $\mathcal N(\mu\,;\sigma^2)$
Courbe « en cloche », symétrique par rapport à $x=\mu$. $E(X)=\mu$ et l’écart type vaut $\sigma$.
$\mu$ déplace la cloche ; $\sigma$ l’étale (plus $\sigma$ est grand, plus la cloche est large et basse).
$P(\mu-\sigma\le X\le\mu+\sigma)\approx0{,}68\quad P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)\approx0{,}95\quad P(\mu-3\sigma\le X\le\mu+3\sigma)\approx0{,}997$
ANIMATION
La loi normale : aire et probabilité
Réglez $\mu$, $\sigma$ et l’intervalle $[a\,;b]$ : l’aire jaune est $P(a\le X\le b)$.
MÉTHODE
Calculer avec la calculatrice
Fonction « normalFRép » (TI) ou « NormCD » (Casio) : $P(a\le X\le b)$ avec $\mu$ et $\sigma$.
$X\sim\mathcal N(100\,;15^2)$ : $P(85\le X\le115)\approx0{,}683$ (à $\pm1\sigma$).
💡 Par symétrie : $P(X\le\mu)=0{,}5$ et $P(X\ge\mu+k)=P(X\le\mu-k)$.
QUESTION FLASH
Loi uniforme
$X$ suit la loi uniforme sur $[0\,;10]$. Que vaut $P(2\le X\le5)$ ?
Rapport des longueurs : $\dfrac{5-2}{10-0}=0{,}3$.
QUESTION FLASH
Loi exponentielle
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}5$. Que vaut $E(X)$ ?
$E(X)=\dfrac1\lambda=\dfrac1{0{,}5}=2$.
QUESTION FLASH
Loi normale
Pour $X\sim\mathcal N(\mu\,;\sigma^2)$, que vaut approximativement $P(\mu-2\sigma\le X\le\mu+2\sigma)$ ?
Règle des trois sigma : environ $68\,\%$ à $\pm1\sigma$, $95\,\%$ à $\pm2\sigma$, $99{,}7\,\%$ à $\pm3\sigma$.
DÉFI
Loi uniforme
$X$ suit la loi uniforme sur $[2\,;10]$. Calculer $P(X\le5)$ (écrire un décimal).
💡 $\dfrac{5-2}{10-2}$.
$P(X\le5)=\dfrac{5-2}{10-2}=\dfrac38=0{,}375$.
DÉFI
Loi exponentielle
$X$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda=0{,}1$. Calculer $P(X\le10)$ (arrondir au millième).
💡 $1-e^{-0{,}1\times10}=1-e^{-1}$.
$1-e^{-1}\approx1-0{,}3679=0{,}632$.
✓
Chapitre terminé
Vous avez revu les densités, les lois uniforme, exponentielle et normale.
Score : 0 / 0
📊 Mon bilan ⚡ Réviser ce chapitre ← Tous les chapitres Accueil MathsMDE