MATHS COMPLÉMENTAIRES
Logarithme et exponentielle
Fonction exponentielle, logarithme népérien, propriétés algébriques, dérivées, limites et équations.
NOTION
La fonction exponentielle
La fonction $\exp$ (notée $x\mapsto e^x$) est dérivable sur $\mathbb R$ et égale à sa dérivée, avec $e^0=1$.
$e^{a+b}=e^a\,e^b\qquad e^{-a}=\dfrac1{e^a}\qquad(e^a)^n=e^{na}$
$e^x>0$ pour tout $x$ : $\exp$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0$
NOTION
Le logarithme népérien
Pour $x>0$, $\ln x$ est l’unique solution de $e^y=x$ : $\ln$ est la réciproque de $\exp$.
$\ln(e^x)=x\ (x\in\mathbb R)\qquad e^{\ln x}=x\ (x>0)\qquad\ln1=0\qquad\ln e=1$
💡 Les courbes de $\exp$ et $\ln$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.
ANIMATION
Exponentielle et logarithme : deux courbes miroir
Déplacez $t$ : le point $(t\,;e^t)$ de $\exp$ a pour symétrique $(e^t\,;t)$ sur $\ln$.
RÈGLES
Propriétés algébriques du logarithme
$\ln(ab)=\ln a+\ln b$
$\ln\dfrac ab=\ln a-\ln b\qquad\ln\dfrac1a=-\ln a\qquad\ln(a^n)=n\ln a$
$\ln12-\ln3=\ln\dfrac{12}3=\ln4=2\ln2$.
À RETENIR
Dérivées et limites
$(e^x)^{\prime}=e^x\quad(e^{u})^{\prime}=u^{\prime}e^{u}\quad(\ln x)^{\prime}=\dfrac1x\quad(\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}u$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\qquad\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty$
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}x=+\infty\qquad\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}x=0\qquad\lim_{x\to-\infty}xe^x=0$
MÉTHODE
Résoudre équations et inéquations
$e^{2x}=5\iff2x=\ln5\iff x=\dfrac{\ln5}2\approx0{,}805$.
$\ln x=2\iff x=e^2$ ; $\ln x\ge0\iff x\ge1$ (car $\ln$ est croissante et $\ln1=0$).
$\ln x+\ln(x-1)=\ln6$ avec $x>1$ : $\ln\big(x(x-1)\big)=\ln6\iff x^2-x-6=0\iff x=3$ (car $x>1$).
⚠️ Toujours vérifier le domaine : $\ln$ n’est défini que sur $]0\,;+\infty[$.
QUESTION FLASH
Fonctions réciproques
Que vaut $\ln(e^3)$ ?
$\ln(e^x)=x$ pour tout réel $x$ : $\ln(e^3)=3$.
QUESTION FLASH
Propriété du logarithme
Pour $a>0$ et $b>0$, que vaut $\ln(ab)$ ?
Le logarithme transforme un produit en somme : $\ln(ab)=\ln a+\ln b$. (Il n’y a pas de formule simple pour $\ln(a+b)$.)
QUESTION FLASH
Une équation
Quelle est la solution de $e^x=1$ ?
$e^x=1\iff x=\ln1=0$ (on a bien $e^0=1$).
DÉFI
Simplifier
Calculer $\ln(e^5)-\ln(e^2)$.
💡 $\ln(e^x)=x$.
$5-2=3$.
DÉFI
Une équation avec ln
Résoudre $\ln x=\ln12-\ln3$.
💡 $\ln12-\ln3=\ln\dfrac{12}3$.
$\ln x=\ln4$ donc $x=4$ (car $\ln$ est strictement croissante donc injective).
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Chapitre terminé
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