MATHS COMPLÉMENTAIRES
Le calcul intégral
Intégrale et aire, primitives, propriétés, valeur moyenne et aire entre deux courbes.
NOTION
Intégrale et aire
Si $f$ est continue et positive sur $[a\,;b]$, $\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$ est l’aire (en u.a.) du domaine sous la courbe.
💡 On l’approche par des rectangles : plus ils sont fins, meilleure est l’approximation.
ANIMATION
Approcher l’aire sous $x^2$ sur $[0\,;1]$
Augmentez le nombre de rectangles : la somme se rapproche de $\frac13$.
THÉORÈME
Calculer avec une primitive
$\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx=F(b)-F(a)=\Big[F(x)\Big]_a^b$
$\displaystyle\int_0^3x^2\,dx=\left[\dfrac{x^3}3\right]_0^3=9$.
$\displaystyle\int_0^1e^{2x}dx=\left[\dfrac{e^{2x}}2\right]_0^1=\dfrac{e^2-1}2\approx3{,}19$.
ANIMATION
L’aire est une primitive
$F(x)=\displaystyle\int_0^xt^2\,dt=\frac{x^3}3$ : la courbe jaune $F$ a pour dérivée la courbe bleue $f$.
PROPRIÉTÉS
Propriétés de l’intégrale
Linéarité : $\displaystyle\int_a^b(\lambda f+\mu g)=\lambda\int_a^bf+\mu\int_a^bg$.
Chasles : $\displaystyle\int_a^bf=\int_a^cf+\int_c^bf$.
Positivité : $f\ge0$ sur $[a\,;b]$ $\Rightarrow\displaystyle\int_a^bf\ge0$. Croissance : $f\le g\Rightarrow\int f\le\int g$.
⚠️ Si $f\le0$, l’intégrale est négative : l’opposé de l’aire.
NOTION
Valeur moyenne
$\mu=\dfrac1{b-a}\displaystyle\int_a^bf(x)\,dx$
$f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$ : $\mu=\dfrac13\times9=3$.
APPLICATION
Aire entre deux courbes
Si $f\ge g$ sur $[a\,;b]$ : $\mathcal A=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$.
Entre $y=x$ et $y=x^2$ sur $[0\,;1]$ : $\displaystyle\int_0^1(x-x^2)\,dx=\dfrac12-\dfrac13=\dfrac16$ u.a.
QUESTION FLASH
Signe d’une intégrale
$f$ est continue et négative sur $[0\,;2]$. Que peut-on dire de $\displaystyle\int_0^2f(x)\,dx$ ?
Si $f\le0$, l’intégrale est $\le0$ : c’est l’opposé de l’aire.
QUESTION FLASH
Relation de Chasles
$\displaystyle\int_0^3f=5$ et $\displaystyle\int_1^3f=2$. Que vaut $\displaystyle\int_0^1f$ ?
Chasles : $\displaystyle\int_0^3f=\int_0^1f+\int_1^3f$, donc $\displaystyle\int_0^1f=5-2=3$.
QUESTION FLASH
Une primitive
Quelle est la valeur de $\displaystyle\int_0^2 3x^2\,dx$ ?
Une primitive de $3x^2$ est $x^3$ : $\Big[x^3\Big]_0^2=8-0=8$.
DÉFI
Calculer une intégrale
Calculer $\displaystyle\int_1^2(3x^2+1)\,dx$.
💡 Une primitive de $3x^2+1$ est $x^3+x$.
$\Big[x^3+x\Big]_1^2=(8+2)-(1+1)=8$.
DÉFI
Une valeur moyenne
Calculer la valeur moyenne de $f(x)=2x$ sur $[0\,;4]$.
💡 $\displaystyle\int_0^42x\,dx=\Big[x^2\Big]_0^4$.
$\displaystyle\int_0^42x\,dx=16$ donc $\mu=\dfrac{16}4=4$.
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