MATHS COMPLÉMENTAIRES
Étude de fonctions
Limites, asymptotes, dérivation, variations, extremums et théorème des valeurs intermédiaires.
NOTION
Limites et asymptotes
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell$ : la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale.
$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ : la droite $x=a$ est asymptote verticale.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^2-x}{x^2+2}=3$ : on garde les termes de plus haut degré.
💡 Croissances comparées : $\dfrac{e^x}x\to+\infty$ ; $x\,e^{-x}\to0$ ; $\dfrac{\ln x}x\to0$ en $+\infty$.
NOTION
Nombre dérivé et tangente
$f^{\prime}(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}h$
$y=f^{\prime}(a)(x-a)+f(a)$
ANIMATION
De la sécante à la tangente
Pour $f(x)=x^3-3x$, faites diminuer $h$ : la sécante tend vers la tangente.
RÈGLES
Dérivées usuelles et composées
$(x^n)^{\prime}=nx^{n-1}\quad(e^x)^{\prime}=e^x\quad(\ln x)^{\prime}=\dfrac1x\quad(\sqrt x)^{\prime}=\dfrac1{2\sqrt x}$
$(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}\quad\left(\dfrac uv\right)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{v^2}\quad(e^u)^{\prime}=u^{\prime}e^u\quad(\ln u)^{\prime}=\dfrac{u^{\prime}}u$
$f(x)=xe^{-x}$ : $f^{\prime}(x)=1\times e^{-x}+x\times(-e^{-x})=(1-x)e^{-x}$.
THÉORÈME
Signe de $f^{\prime}$ et variations
$f^{\prime}\ge0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ croissante. $f^{\prime}\le0$ sur $I$ $\Rightarrow$ $f$ décroissante.
Si $f^{\prime}$ s’annule en changeant de signe en $x_0$ : extremum local en $x_0$.
ANIMATION
$f$ et sa dérivée $f^{\prime}$
Déplacez le point : $f^{\prime}>0$ ↔ $f$ croît, $f^{\prime}<0$ ↔ $f$ décroît.
EXEMPLE
Étude complète de $f(x)=xe^{-x}$
Dérivée : $f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}$, et $e^{-x}>0$ : $f^{\prime}$ a le signe de $1-x$.
Variations : $f$ croît sur $]-\infty\,;1]$ et décroît sur $[1\,;+\infty[$. Maximum $f(1)=e^{-1}\approx0{,}368$.
Limites : en $+\infty$, $xe^{-x}=\dfrac x{e^x}\to0$ (asymptote $y=0$) ; en $-\infty$, $f(x)\to-\infty$.
THÉORÈME
Théorème des valeurs intermédiaires
Si $f$ est continue sur $[a\,;b]$, pour tout $k$ entre $f(a)$ et $f(b)$, l’équation $f(x)=k$ a au moins une solution dans $[a\,;b]$.
Si de plus $f$ est strictement monotone, la solution est unique.
$f(x)=x^3+x-1$ : continue, $f^{\prime}=3x^2+1>0$, $f(0)=-1<0<1=f(1)$ : une unique solution $\alpha\in[0\,;1]$ ($\alpha\approx0{,}682$).
QUESTION FLASH
Dériver $e^{2x}$
Quelle est la dérivée de $f(x)=e^{2x}$ ?
$(e^u)^{\prime}=u^{\prime}e^u$ avec $u=2x$ et $u^{\prime}=2$ : $2e^{2x}$.
QUESTION FLASH
Lire les variations
Si $f^{\prime}(x)>0$ sur $]1\,;4[$, que peut-on dire de $f$ sur cet intervalle ?
Une dérivée strictement positive donne une fonction strictement croissante (et non une fonction positive).
QUESTION FLASH
Une limite
Quelle est la limite de $xe^{-x}$ quand $x\to+\infty$ ?
$xe^{-x}=\dfrac x{e^x}\to0$ par croissances comparées (l’exponentielle l’emporte).
DÉFI
Un nombre dérivé
Soit $f(x)=xe^{-x}$. Calculer $f^{\prime}(0)$.
💡 $f^{\prime}(x)=(1-x)e^{-x}$.
$f^{\prime}(0)=(1-0)e^{0}=1$.
DÉFI
Un minimum local
$f(x)=x^3-3x$ a un minimum local en $x=1$. Quelle est sa valeur ?
💡 Calculez $f(1)$.
$f(1)=1-3=-2$.
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