MATHS COMPLÉMENTAIRES
La convexité
Dérivée seconde, fonctions convexes et concaves, points d’inflexion et inégalités.
NOTION
Fonction convexe, fonction concave
$f$ est convexe sur $I$ si sa courbe est au-dessus de ses tangentes. Elle est concave si elle est au-dessous.
$f$ convexe $\iff f^{\prime}$ croissante $\iff f^{\prime\prime}\ge0$
$f$ concave $\iff f^{\prime}$ décroissante $\iff f^{\prime\prime}\le0$
💡 Exemples : $x^2$ et $e^x$ sont convexes ; $\ln x$ et $\sqrt x$ sont concaves.
ANIMATION
La tangente se déplace sur $f(x)=x^3-3x$
Déplacez le point de tangence : la courbe est-elle au-dessus ou au-dessous de sa tangente ?
NOTION
Point d’inflexion
Un point d’inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente : la convexité change.
$f^{\prime\prime}$ s’annule en changeant de signe $\iff$ point d’inflexion
⚠️ $f^{\prime\prime}(a)=0$ ne suffit pas : $x\mapsto x^4$ a $f^{\prime\prime}(0)=0$ mais reste convexe.
EXEMPLE
Étudier la convexité de $f(x)=xe^x$
$f^{\prime}(x)=(1+x)e^x$ et $f^{\prime\prime}(x)=(2+x)e^x$.
$e^x>0$ : $f^{\prime\prime}$ a le signe de $x+2$ : négative sur $]-\infty\,;-2[$, positive sur $]-2\,;+\infty[$.
$f$ concave sur $]-\infty\,;-2]$, convexe sur $[-2\,;+\infty[$, inflexion en $x=-2$
APPLICATION
Inégalités de convexité
$\exp$ est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente en $0$ ($y=x+1$) : $e^x\ge x+1$ pour tout $x$.
$\ln$ est concave : sa courbe est au-dessous de sa tangente en $1$ ($y=x-1$) : $\ln x\le x-1$ pour tout $x>0$.
Application : $x=0{,}1$ donne $e^{0{,}1}\ge1{,}1$ et $\ln(0{,}9)\le-0{,}1$.
QUESTION FLASH
Signe de la dérivée seconde
Si $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur $I$, alors $f$ est :
$f^{\prime\prime}<0$ signifie que $f^{\prime}$ est décroissante : $f$ est concave. On ne peut rien dire du signe ni du sens de variation de $f$.
QUESTION FLASH
Point d’inflexion
On a $f^{\prime\prime}(x)=6x-12$. Y a-t-il un point d’inflexion en $x=2$ ?
$6x-12$ est négatif avant $2$ et positif après : $f^{\prime\prime}$ s’annule et change de signe.
QUESTION FLASH
Une inégalité
Laquelle de ces inégalités est vraie pour tout réel $x$ ?
$\exp$ est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente $y=x+1$ en $0$.
DÉFI
Abscisse du point d’inflexion
La courbe de $f(x)=x^3-3x^2+2$ a un point d’inflexion. Quelle est son abscisse ?
💡 $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$.
$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$ et $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$ s’annule en changeant de signe en $x=1$.
DÉFI
Une dérivée seconde
Soit $f(x)=xe^x$, avec $f^{\prime\prime}(x)=(2+x)e^x$. Calculer $f^{\prime\prime}(0)$.
💡 $e^0=1$.
$f^{\prime\prime}(0)=(2+0)e^0=2$.
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Vous avez revu la convexité, les points d’inflexion et les inégalités de convexité.
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