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Révision : Convexité
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RÉVISION · Convexité
Signe de la dérivée seconde
Si $f^{\prime\prime}(x)<0$ sur $I$, alors $f$ est :
$f^{\prime\prime}<0$ signifie que $f^{\prime}$ est décroissante : $f$ est concave. On ne peut rien dire du signe ni du sens de variation de $f$.
RÉVISION · Convexité
Point d’inflexion
On a $f^{\prime\prime}(x)=6x-12$. Y a-t-il un point d’inflexion en $x=2$ ?
$6x-12$ est négatif avant $2$ et positif après : $f^{\prime\prime}$ s’annule et change de signe.
RÉVISION · Convexité
Une inégalité
Laquelle de ces inégalités est vraie pour tout réel $x$ ?
$\exp$ est convexe : sa courbe est au-dessus de sa tangente $y=x+1$ en $0$.
RÉVISION · Convexité
Une dérivée seconde
Soit $f(x)=xe^x$, avec $f^{\prime\prime}(x)=(2+x)e^x$. Calculer $f^{\prime\prime}(0)$.
💡 $e^0=1$.
$f^{\prime\prime}(0)=(2+0)e^0=2$.
RÉVISION · Convexité
Abscisse du point d’inflexion
La courbe de $f(x)=x^3-3x^2+2$ a un point d’inflexion. Quelle est son abscisse ?
💡 $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$.
$f^{\prime}(x)=3x^2-6x$ et $f^{\prime\prime}(x)=6x-6$ s’annule en changeant de signe en $x=1$.
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