MÉTHODE BAC
Étudier une suite
Suite auxiliaire, expression explicite, variations, limite et seuil : un exemple rédigé de bout en bout.
LE PLAN
Quel outil pour quelle question ?
Expression de $u_n$ avec $u_{n+1}=au_n+b$ : suite auxiliaire $v_n=u_n-\ell$ où $\ell=a\ell+b$.
Variations : signe de $u_{n+1}-u_n$ (ou récurrence si on a un encadrement).
Limite : limite de $q^n$ ($|q|<1\Rightarrow0$), théorème de convergence monotone, gendarmes.
Seuil : résoudre $u_n>s$ avec une inéquation, ou un algorithme « tant que ».
EXEMPLE
Énoncé et suite auxiliaire
$u_0=2$ et $u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3$. On pose $v_n=u_n-6$.
1. $(v_n)$ est géométrique : $v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5u_n+3-6=0{,}5u_n-3=0{,}5\,(u_n-6)=0{,}5\,v_n$.
2. Expression : $v_0=u_0-6=-4$, donc $v_n=-4\times0{,}5^n$ et $u_n=6-4\times0{,}5^n$.
EXEMPLE
Variations et limite
3. Variations : $u_{n+1}-u_n=4\times0{,}5^n-4\times0{,}5^{n+1}=4\times0{,}5^n(1-0{,}5)=2\times0{,}5^n>0$. La suite est strictement croissante.
4. Limite : $-1<0{,}5<1$ donc $0{,}5^n\to0$ et $u_n\to6$.
💡 Cohérence : suite croissante et qui converge vers $6$ : elle est majorée par $6$ (ici $u_n<6$).
EXEMPLE
Seuil
5. Trouver le plus petit $n$ tel que $u_n>5{,}9$.
$6-4\times0{,}5^n>5{,}9\iff4\times0{,}5^n<0{,}1\iff0{,}5^n<0{,}025$.
On calcule : $0{,}5^5=0{,}03125>0{,}025$ et $0{,}5^6=0{,}015625<0{,}025$. Donc $n=6$ ($u_5=5{,}875$, $u_6=5{,}9375$).
PIÈGES
Les erreurs fréquentes
❌ Dire « $(u_n)$ est géométrique » : ce n’est $(v_n)$ qui l’est. Il faut le démontrer avec $v_{n+1}=q\,v_n$.
❌ Oublier de revenir à $u_n$ après avoir trouvé $v_n$ ($u_n=v_n+6$).
❌ Conclure à la limite sans citer que $|q|<1$.
❌ Seuil : ne pas vérifier les deux valeurs consécutives qui encadrent le seuil.
QUESTION FLASH
Montrer qu’une suite est géométrique
Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, que faut-il établir ?
Il faut exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et trouver un facteur constant $q$.
QUESTION FLASH
Limite
Quelle est la limite de $u_n=6-4\times0{,}5^n$ ?
$0{,}5^n\to0$ donc $u_n\to6-4\times0=6$.
DÉFI
Le seuil
Quel est le plus petit entier $n$ tel que $6-4\times0{,}5^n>5{,}9$ ?
💡 Comparez $0{,}5^n$ à $0{,}025$ : calculez $0{,}5^5$ et $0{,}5^6$.
$0{,}5^5=0{,}03125>0{,}025$ mais $0{,}5^6=0{,}015625<0{,}025$ : $n=6$.
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Chapitre terminé
Vous savez étudier une suite arithmético-géométrique : suite auxiliaire, variations, limite et seuil.
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