MÉTHODE BAC
Rédiger une récurrence
Le plan à suivre, deux exemples rédigés (égalité et inégalité) et les pièges qui font perdre des points.
LE PLAN
Trois étapes, toujours dans cet ordre
0. Énoncer $P(n)$ : la propriété à démontrer, clairement écrite avec $n$.
1. Initialisation : vérifier que $P(n_0)$ est vraie (au premier rang).
2. Hérédité : « Soit $n\ge n_0$ fixé tel que $P(n)$ est vraie (hypothèse de récurrence). Montrons que $P(n+1)$ est vraie. »
3. Conclusion : $P(n_0)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge n_0$.
EXEMPLE 1
Démontrer une égalité
Énoncé : montrer que pour tout $n\ge1$, $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$. On note $P(n)$ cette égalité.
Initialisation : pour $n=1$, le membre de gauche vaut $1$ et celui de droite $\dfrac{1\times2}2=1$. $P(1)$ est vraie.
Hérédité : soit $n\ge1$ fixé tel que $P(n)$ est vraie. Alors $1+\cdots+n+(n+1)=\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)$ (par hypothèse de récurrence).
$=(n+1)\left(\dfrac n2+1\right)=\dfrac{(n+1)(n+2)}2$ : c’est exactement $P(n+1)$.
✅ Conclusion : $P(1)$ est vraie et $P$ est héréditaire, donc $P(n)$ est vraie pour tout $n\ge1$.
EXEMPLE 2
Démontrer un encadrement
Énoncé : $u_0=0$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $0\le u_n\le2$ pour tout $n$. $P(n)$ : « $0\le u_n\le2$ ».
Initialisation : $u_0=0$ et $0\le0\le2$ : $P(0)$ est vraie.
Hérédité : soit $n$ fixé avec $0\le u_n\le2$. Alors $2\le u_n+2\le4$.
La fonction racine carrée est croissante : $\sqrt2\le u_{n+1}\le2$, donc $0\le u_{n+1}\le2$ : $P(n+1)$ est vraie.
✅ Conclusion : $P(0)$ vraie et héréditaire, donc $0\le u_n\le2$ pour tout $n$.
PIÈGES
Ce qui coûte des points
❌ Écrire « supposons $P(n)$ vraie pour tout $n$ » : c’est ce qu’on veut démontrer !
❌ Oublier l’initialisation, ou ne pas la vérifier réellement.
❌ Ne pas utiliser l’hypothèse de récurrence dans l’hérédité (sans elle, ce n’est pas une récurrence).
❌ Pas de conclusion, ou une conclusion qui ne mentionne pas l’initialisation et l’hérédité.
QUESTION FLASH
Début d’hérédité
Quelle phrase commence correctement l’hérédité ?
L’hérédité suppose $P(n)$ vraie pour un $n$ fixé (et non pour tout $n$) et démontre $P(n+1)$.
QUESTION FLASH
Que montre l’hérédité ?
Dans l’hérédité, que faut-il démontrer ?
L’hérédité démontre l’implication $P(n)\Rightarrow P(n+1)$. $P(0)$ relève de l’initialisation.
DÉFI
Initialisation numérique
Pour la propriété $P(n)$ : « $1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}2$ », que vaut le membre de gauche pour $n=4$ ?
💡 $1+2+3+4$.
$1+2+3+4=10$ et $\dfrac{4\times5}2=10$ : les deux membres coïncident.
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Chapitre terminé
Vous savez rédiger une récurrence : plan, hypothèse de récurrence, conclusion et pièges à éviter.
Score : 0 / 0
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